Baccalauréat S Métropole 20 juin 2013 - Exercice 4
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Exercice 4 5 points
Soit la suite numérique $\left(u_{n}\right)$ définie sur $\textbf{N}$ par :
\[u_{0} = 2 \quad \text{et pour tout entier naturel } \:n, \:u_{n+1} = \dfrac{2}{3}u_{n} + \dfrac{1}{3}n + 1.\]
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- Calculer $u_{1}, u_{2}, u_{3}$ et $u_{4}$. On pourra en donner des valeurs approchées à $10^{- 2}$ près.
- Formuler une conjecture sur le sens de variation de cette suite.
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- Démontrer que pour tout entier naturel $n$,
\[u_{n} \leqslant n + 3.\] - Démontrer que pour tout entier naturel $n$, \[u_{n+1} - u_{n} = \dfrac{1}{3} \left(n + 3 - u_{n}\right).\]
- En déduire une validation de la conjecture précédente.
- Démontrer que pour tout entier naturel $n$,
- On désigne par $\left(v_{n}\right)$ la suite définie sur $\textbf{N}$ par $v_{n} = u_{n} - n$.
- Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $\dfrac{2}{3}$.
- En déduire que pour tout entier naturel $n$, \[u_{n} = 2\left(\dfrac{2}{3} \right)^n + n\]
- Déterminer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$.
- Pour tout entier naturel non nul $n$, on pose: \[S_{n} = \sum_{k=0}^n u_{k} = u_{0} + u_{1} + \ldots + u_{n}\quad \text{et} \quad T_{n} = \dfrac{S_{n}}{n^2}.\]
- Exprimer $S_{n}$ en fonction de $n$.
- Déterminer la limite de la suite $\left(T_{n}\right)$.
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