Baccalauréat S Métropole 20 juin 2013 - Spécialité

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Spécialité 5 points

Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

On étudie la population d'une région imaginaire. Le 1 ^er  janvier 2013, cette région comptait   250000  habitants dont 70 % résidaient à la campagne et 30 % en ville.
L'examen des données statistiques recueillies au cours de plusieurs années amène à choisir de modéliser l'évolution de la population pour les années à venir de la façon suivante :

• l'effectif de la population est globalement constant,
• chaque année, 5 % de ceux qui résident en ville décident d'aller s'installer à la campagne et 1 % de ceux qui résident à la campagne choisissent d'aller habiter en ville.

Pour tout entier naturel $n$, on note $v_{n}$ le nombre d'habitants de cette région qui résident en ville au 1 ^er  janvier de l'année $(2013 + n)$ et $c_{n}$ le nombre de ceux qui habitent à la campagne à la même date.

1. Pour tout entier naturel $n$, exprimer $v_{n+1}$ et $c_{n+1}$ en fonction de $v_{n}$ et $c_{n}$.
2. Soit la matrice $A = \begin{pmatrix}0,95&0,01\\0,05& 0,99\end{pmatrix}$.
   On pose $X = \begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}$ où $a,\: b$ sont deux réels fixés et $Y = AX$. Déterminer, en fonction de $a$ et $b$, les réels $c$ et $d$ tels que $Y = \begin{pmatrix}c\\d\end{pmatrix}$.
Les résultats précédents permettent d'écrire que pour tout entier naturel $n$,
$X_{n+1} = AX_{n}$ où $X_{n} = \begin{pmatrix}v_{n}\\c_{n}\end{pmatrix}$. On peut donc en déduire que pour tout entier naturel $n,\: X_{n} = A^n X_{0}$.


3. Soient les matrices $P = \begin{pmatrix}1&- 1\\5&1\end{pmatrix}$ et $Q = \begin{pmatrix}1&1\\- 5&1\end{pmatrix}$.
   1. Calculer $PQ$ et $QP$. En déduire la matrice $P^{-1}$ en fonction de $Q$.
   2. Vérifier que la matrice $P^{-1}AP$ est une matrice diagonale $D$ que l'on précisera.
   3. Démontrer que pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $1$, $A^n = P D^n P^{- 1}$.
4. Les résultats des questions précédentes permettent d'établir que \[v_{n} = \dfrac{1}{6}\left(1 + 5 \times 0,94^n\right)v_{0} + \dfrac{1}{6}\left(1 - 0,94^n\right)c_{0}.\]
   Quelles informations peut-on en déduire pour la répartition de la population de cette région à long terme ?