Baccalauréat S Polynésie 12 juin 2015 - Correction Exercice 5

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Correction de l'exercice 5 5 points

Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Soit $\left(v_n\right)$ la suite définie par \[v_1 = \ln (2) \quad \text{et, pour tout entier naturel }\: n \:\text{non nul},\: v_{n+1} = \ln \left(2 - \text{e}^{- v_n}\right).\] On admet que cette suite est définie pour tout entier naturel $n$ non nul. On définit ensuite la suite $\left(S_n\right)$ pour tout entier naturel $n$ non nul par : \[S_n = \displaystyle\sum_{k=1}^n v_k = v_1 + v_2 + \cdots + v_n.\] Le but de cet exercice est de déterminer la limite de $\left(S_n\right)$.

Partie A -- Conjectures à l'aide d'un algorithme

 

1. Recopier et compléter l'algorithme suivant qui calcule et affiche la valeur de $S_n$ pour une valeur de $n$ choisie par l'utilisateur : $$ \begin{array}{|ll|}\hline \text{ Variables :} & n, k \text{ entiers }\\ &S, \:v \text{ réels}\\ \text{ Initialisation :}& \text{ Saisir la valeur de } n\\ &v \text{ prend la valeur } \ldots\\ &S \text{ prend la valeur } \ldots\\ \text{ Traitement :}& \text{ Pour } k \text{ variant de } \ldots \text{ à } \ldots \text{ faire }\\ &\hspace{0.4cm}\begin{array}{|l} \ldots \text{ prend la valeur }\ldots\\ \ldots \text{ prend la valeur } \ldots \end{array}\\ &\text{ Fin Pour}\\ Sortie :& \text{ Afficher} S\\ \hline \end{array} $$
Variables :
$\quad$ $n, k$ entiers
$\quad$ $S,v$ réels
Initialisation :
$\quad$ Saisir la valeur de $n$
$\quad$ $v$ prend la valeur $\ln(2)$
$\quad$ $S$ prend la $v$
Traitement :
$\quad$ Pour $k$ variant de $2$ à $n$ faire
$\qquad$ $v$ prend la valeur $\ln\left(2 – \text{e}^{-v}\right)$
$\qquad$ $S$ prend la valeur $S + v$
$\quad$ Fin Pour
Sortie :
$\quad$ Afficher $S$

2. À l'aide de cet algorithme, on obtient quelques valeurs de $S_n$. Les valeurs arrondies au dixième sont données dans le tableau ci-dessous : $$ \begin{array}{|l|l|l|l|l|l|l| }\hline n &10 &100 & 1000 & 10000 & 100000 & 1000000 \\ \hline S_n &2,4&4,6 &6,9 &9,2 &11,5 &13,8\\ \hline \end{array} $$ En expliquant votre démarche, émettre une conjecture quant au comportement de la suite $\left(S_n\right)$.
Les valeurs de $S_n$ étant de plus en plus grande, on peut conjecturer que la suite $(S_n)$ est croissante et probablement de limite $+\infty$.

 

Partie B -- Étude d'une suite auxiliaire

Pour tout entier naturel $n$ non nul, on définit la suite $\left(u_n\right)$ par $u_n = \text{e}^{v_n}$.

1. Vérifier que $u_1 = 2$ et que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $u_{n+1} = 2 - \dfrac{1}{u_n}$.
$u_1 = \text{e}^{\ln(2)} = 2$.
$$\begin{array}{rl} u{n+1} &= \text{e}^{v_{n+1}} \\ &= 2 – e^{-v_n} \\ &= 2 – \dfrac{1}{e^{v_n}} \\ &=2 – \dfrac{1}{u_n} \end{array}$$

2. Calculer $u_2,\: u_3$ et $u_4$. Les résultats seront donnés sous forme fractionnaire.
On a ainsi $u_2 = 2 – \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2}$
$\quad$
$u_3 = 2 – \dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{3}$

3. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $u_n = \dfrac{n+1}{n}$.
Montrons cette propriété par récurrence.
Initialisation :
Pour $n=1$, $\dfrac{n+1}{n} = 2 = u_1$.
La propriété est donc vraie au rang $1$.
$\quad$
Hérédité :
Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $u_n = \dfrac{n+1}{n}$
Alors $$\begin{array}{rl} u_{n+1} &= 2 – \dfrac{1}{u_n} \\ & = 2 – \dfrac{n}{n+1} \\ & = \dfrac{2n + 2 -n}{n+1} \\ &= \dfrac{n+2}{n+1} \end{array}$$
La propriété est donc vraie au rang $n+1$
Conclusion :
La propriété est vraie au rang $1$ et est héréditaire.
Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ non nul on a $u_n = \dfrac{n+1}{n}$.

 

Partie C -- Étude de $(Sn)$

 

1. Pour tout entier naturel $n$ non nul, exprimer $v_n$ en fonction de $u_n$, puis $v_n$ en fonction de $n$.
On a $u_n = \dfrac{n+1}{n}$.
Or $$\begin{array}{rl} u_n = \text{e}^{v_n} &\iff v_n = \ln u_n \\ & \iff v_n = \ln \dfrac{n+1}{n} \\ & \iff v_n = \ln (n+1) – \ln (n) \end{array}$$

2. Vérifier que $S_3 = \ln (4)$.
$$\begin{array}{rl} S_3 &= v_1 + v_2 + v_3 \\ &= \ln(2) + \ln(3) – \ln(2) + \ln(4) – \ln(3) \\ & = \ln(4) \end{array}$$

3. Pour tout entier naturel $n$ non nul, exprimer $S_n$ en fonction de $n$. En déduire la limite de la suite $\left(S_n\right)$.
On a :
$$\displaystyle \begin{array}{rl} S_n &= \displaystyle\sum_{k=1}^n v_k \\ &= \ln(2) + \ln(3) – \ln(2) + \ldots + \ln(n-1) – \ln(n-2) + \ln(n) – \ln(n-1) \\ & = \ln(n) \end{array}$$
Or $\lim\limits_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} S_n= +\infty$.