Baccalauréat S Centres étrangers 13 juin 2019 - Exercice 2

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Exercice 2 5 points

Commun à tous les candidats

Le but de cet exercice est d'étudier la suite $\left(u_n\right)$ définie par la donnée de son premier terme $u_1$ et, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1, par la relation: \[u_{n+1} = (n + 1) u_n - 1.\]

Partie A

 

1. Vérifier, en détaillant le calcul, que si $u_1 = 0$ alors $u_4 = - 17$.
2. Recopier et compléter l'algorithme ci-dessous pour qu'en saisissant préalablement dans $U$ une valeur de $u_1$ il calcule les termes de la suite $\left(u_n\right)$ de $u_2$ à $u_{13}$. $$ \begin{array}{ |c|c|}\hline \text{Pour } N \text{allant de 1 à 12 }\\ \hspace{1cm} U \gets \\ \text{Fin Pour }\\ \hline \end{array} $$
3. On a exécuté cet algorithme pour $u_1 = 0,7$ puis pour $u_1 = 0,8$. Voici les valeurs obtenues. $$\begin{array}{|c|c|} \hline \text{ Pour } u_1 = 0,7 & \text{ Pour } u_1 = 0,8 \\ \hline 0,4 & 0,6 \\ 0,2 & 0,8\\ - 0,2 & 2,2 \\ - 2 &10\\ - 13 &59\\ - 92 &412 \\ - 737 & 3295 \\ -6634 & 29654 \\ -66341 & 296539 \\ -729752 & 3261928 \\ -8757025 & 39143135 \\ -113841326 & 508860754 \\ \hline \end{array} $$ Quelle semble être la limite de cette suite si $u_1 = 0,7$ ? Et si $u_1 = 0,8$ ?

 

Partie B

On considère la suite $\left(I_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$, supérieur ou égal à 1, par : \[I_n = \displaystyle\int_0^1 x^n \text{e}^{1 - x}\:\text{d}x.\] On rappelle que le nombre e est la valeur de la fonction exponentielle en 1, c'est-à-dire que e $= \text{e}^1$.

1. Prouver que la fonction $F$ définie sur l'intervalle [0~;~1] par $F(x)=(- 1 - x)\text{e}^{1 - x}$ est une primitive sur l'intervalle [0~;~1] de la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0~;~1] par $f(x) = x \text{e}^{1 - x}$.
2. En déduire que $I_1 = \text{e} - 2$.
3. On admet que, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1, on a : \[I_{n+1} = (n+1)I_{n} - 1.\] Utiliser cette formule pour calculer $I_2$.
4. 1. Justifier que, pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle [0~;~1] et pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1, on a : $0 \leqslant x^n \text{e}^{1-x} \leqslant x^n \text{e}$.
   2. Justifier que : $\displaystyle\int_0^1 x^n\text{e}\:\text{d}x = \dfrac{\text{e}}{n+ 1}$.
   3. En déduire que, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1, on a : $0 \leqslant I_n \leqslant \dfrac{\text{e}}{n+ 1}$.
   4. Déterminer $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} I_n$.

 

Partie C

Dans cette partie, on note $n$! le nombre défini, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, par : 1!=1 2!$ =2 \times 1$ et si $n \geqslant 3$ : $n$! $= n \times (n-1) \times \ldots \times 1$ On a ainsi par exemple 3! $= 3\times 2\times 1 = 3\times(2 \times 1) = 3\times 2$! 4! $= 4\times 3\times 2\times 1 = 4\times (3\times 2\times 1) = 4\times 3$! 8! $= 8\times 7\times 6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1 = 8\times(7\times 6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1) = 8\times 7$! Et, plus généralement : \[(n+1)\text{!} = (n+1) \times n\text{!}\]

1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1, on a : \[u_n =n\text{!}\left(u_1 - \text{e} + 2\right)+ I_n.\] On rappelle que, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1, on a : \[ u_{n+1} = (n+1)u_{n} - 1\quad \text{ et } I_{n+1} = (n+1)I_{n} - 1.\]
2. On admet que : $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} n\text{!} = + \infty$.
   1. Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$ lorsque $u_1 = 0,7$.
   2. Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$ lorsque $u_1 = 0,8$.