Baccalauréat S Centres étrangers 13 juin 2019 - Correction Exercice 3
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Correction de l'exercice 3 (5 points)
Le plan est muni d'un repère orthonormé direct (O, →u, →v). Le but de cet exercice est de déterminer les nombres complexes z non nuls tels que les points d'affixes 1, z2 et 1z soient alignés. Sur le graphique fourni en annexe, le point A a pour affixe 1.
Partie A: étude d'exemples
- Un premier exemple
Dans cette question, on pose z=i.- Donner la forme algébrique des nombres complexes z2 et 1z. z2=i2=−1
- 1z=1i=1i×ii=i−1=−i.
- Placer les points N1 d'affixe z2, et P1 d'affixe 1z sur le graphique donné en annexe. On remarque que dans ce cas les points A, N1 et P1 ne sont pas alignés.
- L’affixe du vecteur →AN1 est z→AN1=−2 et celle du vecteur →AP1 est z→AP1=−i−1.
- Ces deux vecteurs ne sont clairement pas colinéaires et les points A,N1 et P1 ne sont pas alignés.
- Une équation
Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation d’inconnue z : z2+z+1=0.
On a l’équation z2+z+1=0
- Δ=12−4×1×1=−3<0.
- Les solutions de cette équation sont donc z1=−1−i√32 et z2=−1+i√32.
- Un deuxième exemple
Dans cette question, on pose : z=−12+i√32.- Déterminer la forme exponentielle de z, puis celles des nombres complexes z2 et 1z. On a |z|=|−12+i√32|=1
- Donc z=e2iπ/3
- Ainsi z2=e2×2iπ/3=e4iπ/3
- et 1z=e−2iπ/3.
- Placer les points N2 d'affixe z2 et P2, d’affixe 1z sur le graphique donné en annexe. On remarque que dans, ce cas les points A, N2 et P2 sont alignés. On obtient le graphique suivant :
- z2=e4iπ/3=e4iπ/3−2π=e−2iπ/3=1z.
- Les points N2 et P2 sont confondus.
- Par conséquent, les points A,N2 et P2 sont alignés.
Partie B
Soit z un nombre complexe non nul. On note N le point d’affixe z2 et P le point d’affixe 1z.
- Établir que, pour tout nombre complexe différent de 0, on a : z2−1z=(z2+z+1)(1−1z). Pour tout nombre z différent de 0 on a :
- $\begin{align*} \left(z^2+z+1\right)\left(1-\dfrac{1}{z}\right) &=z^2-z+z-1+1-\dfrac{1}{z} \\
- &=z^2-\dfrac{1}{z}\end{align*}$
- On rappelle que si, →U est un vecteur non nul et →V un vecteur d’affixes respectives z→U et z→V, les vecteurs →U et →V sont colinéaires si et seulement si il existe un nombre réel k tel que z→V=kz→U. En déduire que, pour z≠0, les points A, N et P définis ci-dessus sont alignés si et seulement si z2+z+1 est un réel. On considère un nombre complexe z non nul.
- L’affixe du vecteur →PN est z2−1z.
- L’affixe du vecteur →PA est 1−1z.
- Ces deux vecteurs sont colinéaires si, et seulement si, il existe un réel k tel que z2−1z=k(1−1z).
- ⟺(z2+z+1)(1−1z)=k(1−1z)
- ⟺z2+z+1=k ou z=1
- ⟺z2+z+1∈R ou z=1
- ⟺z2+z+1∈R (en effet si z=1 alors z2+z+1=3∈R).
- On pose z=x+iy, où x et y désignent des nombres réels. Justifier que : z2+z+1=x2−y2+x+1+i(2xy+y). Soient x et y des nombres réels et z=x+iy.
- $\begin{align*} z^2+z+1&=(x+\text{i} y)^2+x+\text{i} y+1 \\
- &=x^2+2\text{i} xy-y^2+x+\text{i} y+1\\
- &=x^2-y^2+x+1+\text{i} (2xy+y)\end{align*}$
-
- Déterminer l'ensemble des points M d'affixe z≠0 tels que les points A, N et P soient alignés. z2+z+1 est un réel si, et seulement si, 2xy+y=0
- si, et seulement si, y(2x+1)=0
- si, et seulement si, y=0 ou 2x+1=0
- si, et seulement si, y=0 ou x=−12
- Parmi cet ensemble de solutions, cherchons celles qui annulent également la partie réelle.
- – Si y=0 alors on cherche les solutions de l’équation x2+x+1=0. D’après la question
- elle ne possède pas de solution réelle.
- – Si x=−12 alors on cherche les solutions de l’équation 14−y2−12+1=0 soit y2=34. Cette équation possède deux solutions : −√32 et √32
- Ainsi l’ensemble cherché la réunion des droites d’équation y=0 (l’axe des abscisses) et x=−12 privé des points B et C de coordonnées respectives (−12;−√32) et (−12;√32).
- Tracer cet ensemble de points sur le graphique donné en annexe.
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