Baccalauréat S Centres étrangers 13 juin 2019 - Correction Exercice 2

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Correction de l'exercice 2 (6 points)

Commun à tous les candidats

Le but de cet exercice est d'étudier la suite $\left(u_n\right)$ définie par la donnée de son premier terme $u_1$ et, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1, par la relation: \[u_{n+1} = (n + 1) u_n - 1.\]

Partie A

 

1. Vérifier, en détaillant le calcul, que si $u_1 = 0$ alors $u_4 = - 17$.
Si $u_1=0$ alors :

 

$u_2=(1+1)\times u_1-1=2\times 0-1=-1$

 

$u_3=(2+1)\times u_2-1=3\times (-1)-1=-4$

 

$u_4=(3+1)\times u_3-1=4\times (-4)-1=-17$

 

$\quad$
1. Recopier et compléter l'algorithme ci-dessous pour qu'en saisissant préalablement dans $U$ une valeur de $u_1$ il calcule les termes de la suite $\left(u_n\right)$ de $u_2$ à $u_{13}$. $$ \begin{array}{ |c|c|}\hline \text{Pour } N \text{allant de 1 à 12 }\\ \hspace{1cm} U \gets \\ \text{Fin Pour }\\ \hline \end{array} $$
On a l’algorithme suivant :

 

$$ \begin{array}{ |c|c|}\hline \text{Pour } N \text{allant de 1 à 12 }\\ \hspace{1cm} U\gets (N+1)\times U-1 \\ \text{Fin Pour }\\ \hline \end{array} $$
1. On a exécuté cet algorithme pour $u_1 = 0,7$ puis pour $u_1 = 0,8$. Voici les valeurs obtenues. $$\begin{array}{|c|c|} \hline \text{ Pour } u_1 = 0,7 & \text{ Pour } u_1 = 0,8 \\ \hline 0,4 & 0,6 \\ 0,2 & 0,8\\ - 0,2 & 2,2 \\ - 2 &10\\ - 13 &59\\ - 92 &412 \\ - 737 & 3295 \\ -6634 & 29654 \\ -66341 & 296539 \\ -729752 & 3261928 \\ -8757025 & 39143135 \\ -113841326 & 508860754 \\ \hline \end{array} $$ Quelle semble être la limite de cette suite si $u_1 = 0,7$ ? Et si $u_1 = 0,8$ ?
Si $u_1=0,7$ alors il semblerait que la limite de cette suite soit $-\infty$.

 

Si $u_1=0,8$ alors il semblerait que la limite de cette suite soit $+\infty$.

 

$\quad$

 

Partie B

On considère la suite $\left(I_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$, supérieur ou égal à 1, par : \[I_n = \displaystyle\int_0^1 x^n \text{e}^{1 - x}\:\text{d}x.\] On rappelle que le nombre e est la valeur de la fonction exponentielle en 1, c'est-à-dire que e $= \text{e}^1$.

1. Prouver que la fonction $F$ définie sur l'intervalle [0~;~1] par $F(x)=(- 1 - x)\text{e}^{1 - x}$ est une primitive sur l'intervalle [0~;~1] de la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0~;~1] par $f(x) = x \text{e}^{1 - x}$.
On calcule $F'(x)$ et on vérifie que $F'(x)=f(x)$.
2. En déduire que $I_1 = \text{e} - 2$.
On a :

 

$$\begin{array}{rl} \displaystyle I_1&=\int_0^1 x\text{e}^{1-x}\text{d}x \\ & =F(1)-F(0)\\ & =-2-(-1)\text{e}^1 \\ & =\text{e}-2 \end{array}$$

 

$\quad$
1. On admet que, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1, on a : \[I_{n+1} = (n+1)I_{n} - 1.\] Utiliser cette formule pour calculer $I_2$.
On a $I_1=\text{e}-2$ et

 

$I_2=(1+1)I_1-1=2(\text{e}-2)-1=2\text{e}-5$

 

$\quad$
1. 1. Justifier que, pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle [0 ; 1] et pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1, on a : $0 \leqslant x^n \text{e}^{1-x} \leqslant x^n \text{e}$.
   On a $0\leq x\leq 1$ donc $-1\leq x \leq 0$ et $0\leq 1-x\leq 1$
   
   
   La fonction exponentielle est strictement croissante sur $\mathbb R$.
   
   
   Ainsi $\text{e}^0\leq \text{e}^{1-x}\leq \text{e}^1$
   
   
   Donc $1\leq \text{e}^{1-x} \leq \text{e}$
   
   
   En multipliant chaque terme de ces inégalités par $x^n$, réel positif, on obtient, pour tout entier naturel $n$ :
   
   
   $x^n\leq x^n\text{e}^{1-x}\leq x^n\text{e}$.
   
   
   Puisque $x\in [0;1]$ on a également $x^n\in [0;1]$ en particulier $x^n\geq 0$.
   
   
   Par conséquent $0\leq x^n\text{e}^{1-x}\leq x^n\text{e}$.
   
   
   $\quad$
   
   
   1. Justifier que : $\displaystyle\int_0^1 x^n\text{e}\:\text{d}x = \dfrac{\text{e}}{n+ 1}$.
   On a, pour tout entier naturel $n$ :
   
   
   $$\begin{array}{rl} \displaystyle \int_0^1 x^n\text{e} \text{d}x &=\left[\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\text{e}\right]_0^1 \\ &= \dfrac{1^{n+1}}{n+1}\text{e}-\dfrac{0^{n+1}}{n+1}\text{e}\\ &=\dfrac{\text{e}}{n+1} \end{array}$$
   
   
   1. En déduire que, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1, on a : $0 \leqslant I_n \leqslant \dfrac{\text{e}}{n+ 1}$.
   On intègre sur l’intervalle $[0;1]$ l’inégalité obtenue à la question
   4.a.
   
   Ainsi :
   
   
   $\displaystyle \int_0^1 0\text{d}x \leq \int_0^1 x^n\text{e}^{1-x}\text{d}x \leq \int_0^1 x^n\text{e} \text{d}x $
   
   
   Par conséquent $0\leq I_n\leq \dfrac{\text{e}}{n+1}$.
   
   
   $\quad$
   
   
   1. Déterminer $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} I_n$.
   On a $\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{\text{e}}{n+1}=0$ et $0\leq I_n\leq \dfrac{\text{e}}{n+1}$.
   
   
   D’après le théorème des gendarmes, on a alors $\lim\limits_{n\to +\infty} I_n=0$.
   
   
   $\quad$

 

Partie C

Dans cette partie, on note $n$! le nombre défini, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, par : 1!=1
2!$ =2 \times 1$ et si $n \geqslant 3$ : $n$! $= n \times (n-1) \times \ldots \times 1$
On a ainsi par exemple 3! $= 3\times 2\times 1 = 3\times(2 \times 1) = 3\times 2$!
4! $= 4\times 3\times 2\times 1 = 4\times (3\times 2\times 1) = 4\times 3$!
8! $= 8\times 7\times 6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1 = 8\times(7\times 6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1) = 8\times 7$!
Et, plus généralement : \[(n+1)\text{!} = (n+1) \times n\text{!}\]

1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1, on a : \[u_n =n\text{!}\left(u_1 - \text{e} + 2\right)+ I_n.\] On rappelle que, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1, on a : \[ u_{n+1} = (n+1)u_{n} - 1\quad \text{ et } I_{n+1} = (n+1)I_{n} - 1.\]

Initialisation :

Si $n=1$ on a :

 

$1!\left(u_1-\text{e}+2\right)+I_1=u_1-\text{e}+2+\text{e}-2=u_1$.

 

La propriété est vraie au rang $1$.

 

$\quad$

Hérédité :

Supposons la propriété vraie au rang $n$ où $n$ est un entier naturel non nul. On a alors $u_n=n!\left(u_1-\text{e}+2\right)+I_n$.

 

Montrons qu’elle est vraie au rang suivant, c’est-à-dire $u_{n+1}=(n+1)!\left(u_1-\text{e}+2\right)+I_{n+1}$.

 

$$\begin{array}{rl} u_{n+1}&=(n+1)u_n-1 \\ &=(n+1)n!\left(u_1-\text{e}+2\right)+(n+1)I_n-1\\ & =(n+1)!\left(u_1-\text{e}+2\right)+I_{n+1} \end{array}$$

 

La propriété est donc vraie au rang $n+1$.

 

$\quad$

Conclusion :

La propriété est vraie au rang $1$ et est héréditaire.

 

Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a : $u_n=n!\left(u_1-\text{e}+2\right)+I_n$.

 

$\quad$
1. On admet que : $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} n\text{!} = + \infty$.
   1. Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$ lorsque $u_1 = 0,7$.
   Si $u_1=0,7$ alors $u_1-\text{e}+2\approx -0,018<0$.
   
   
   Donc $\lim\limits_{n\to +\infty} n!\left(u_1-\text{e}+2\right)=-\infty$. De plus $\lim\limits_{n\to +\infty} I_n=0$ et $\lim\limits_{n\to +\infty} 0=0$.
   
   
   Donc $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=-\infty$.
   
   
   $\quad$
   
   
   1. Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$ lorsque $u_1 = 0,8$.
   Si $u_1=0,8$ alors $u_1-\text{e}+2\approx 0,082>0$.
   
   
   Donc $\lim\limits_{n\to +\infty} n!\left(u_1-\text{e}+2\right)=+\infty$. De plus $\lim\limits_{n\to +\infty} I_n=0$ et $\lim\limits_{n\to +\infty} 0=0$.
   
   
   Donc $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=+\infty$.
   
   
   $\quad$