Baccalauréat S Centres étrangers 13 juin 2019 - Spécialité

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Spécialité 5 points

Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Le but de cet exercice est d'envisager plusieurs décompositions arithmétiques du nombre 40.

Partie A :

Les questions $1.$, $2.$ et $3.$ sont indépendantes

1. Sans justifier, donner deux nombres premiers $x$, et $y$ tels que $40 = x + y$.
2. On considère l'équation $20x + 19 y = 40$, où $x$ et $y$ désignent deux, entiers relatifs. Résoudre cette équation.
3. Le nombre $40$ est une somme de deux carrés puisque : $40 = 2^2 + 6^2$. On veut savoir si 40, est aussi différence de deux carrés, autrement dit s’intéresser à l'équation $x^2 - y^2 = 40$, où $x$ et $y$ désignent deux entiers naturels.
   1. Donner la décomposition de 40 en produit de facteurs premiers.
   2. Montrer que, si $x$ et $y$ désignent des entiers naturels, les nombres $x- y$ et $x+ y$ ont la même parité.
   3. Déterminer toutes les solutions de l'équation $x^2 - y^2 = 40$ où $x$ et $y$ désignent deux entiers naturels.

 

Partie B : « sommes» de cubes

Les questions $1.$ et $2.$ sont indépendantes.
Certains nombres entiers peuvent se décomposer en somme ou différence de cubes d'entiers naturels. Par exemple : $$13 = 4^3 + 7^3 + 7^3 - 9^3 - 2^3$$ $$13 = - 1^3 - 1^3 - 1^3 + 2^3 + 2^3$$ $$13 = 1^3 + 7^3 + 10^3 - 11^3$$ Dans tout ce qui suit, on écrira pour simplifier « sommes» de cubes à la place de « sommes ou différence de cubes d'entiers naturels ». Les deux premiers exemples montrent que 13 peut se décomposer en « somme» de 5 cubes. Le troisième exemple montre que 13 peut se décomposer en « somme» de 4 cubes.

1. 1. En utilisant l'égalité $13 = 1^3 + 7^3 + 10^3 - 11^3$, donner une décomposition de 40 en « somme » de 5 cubes.
   2. On admet que pour tout entier naturel $n$ on a : $$6n = (n+1)^3 + (n - 1)^3 - n^3 - n^3$$ En déduire une décomposition de $4$8 en « somme» de 4 cubes, puis une décomposition de 40 en « somme» de 5 cubes, différente de celle donnée en 1. a.)
2. Le nombre 40 est une « somme» de 4 cubes : $40 = 4^3 - 2^3 - 2^3 - 2^3$. On veut savoir si 40 peut être décomposé en « somme» de 3 cubes.
   1. Recopier et compléter sans justifier:
      $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline \text{Reste de la division euclidienne de } n \text{ par } 9 & 0& 1& 2& 3& 4& 5& 6& 7& 8\\ \hline \text{ Reste de la division euclidienne de } n^3 \text{ par } 9&&&&&1&&&&\\ \hline \end{array}$$
   2. On déduit du tableau précédent que, pour tout entier naturel $n$, l'entier naturel $n^3$ est congru modulo 9 soit à 0, soit à 1, soit à $-1$. Prouver que 40 ne peut pas être décomposé en « somme» de 3 cubes.