Baccalauréat S Polynésie 19 juin 2019 - Spécialité

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Spécialité 5 points

Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

On considère la matrice $M = \begin{pmatrix}2&3\\1&2\end{pmatrix}$ et les suites d'entiers naturels $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ définies par: $u_0 = l,\: v_0 = 0$, et pour tout entier naturel $n$, $\begin{pmatrix}u_{n+1}\\v_{n+1}\end{pmatrix} = M\begin{pmatrix}u_{n}\\v_{n}\end{pmatrix}$.
Les deux parties peuvent être traitées de façon indépendante.

Partie A

On a calculé les premiers termes de la suite $\left(v_n\right)$ : $$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline n &0 &1 &2 &3 &4&5 &6&7&8&9&10&11&12\\ \hline v_n&0 &1 &4 &15 &56 &209&780& 2911 & 10864 & 40545 & 151316 & 564719 & 2107560 \\ \hline \end{array} $$

1. Conjecturer les valeurs possibles du chiffre des unités des termes de la suite $\left(v_n\right)$.
2. On admet que pour tout entier naturel $n, \:\begin{pmatrix}u_{n+3}\\v_{n+3}\end{pmatrix} = M^3\begin{pmatrix}u_{n}\\v_{n}\end{pmatrix}$.
   1. Justifier que pour tout entier nature $n,\:\left\{\begin{array}{l c l} u_{n+3}&=&26u_n + 45v_n\\ v_{n+3}&=&15u_n + 26v_n \end{array}\right.$.
   2. En déduire que pour tout entier naturel $n :\: v_{n+3} \equiv v_n \:[5]$.
3. Soit $r$ un entier naturel fixé. Démontrer, à l'aide d'un raisonnement par récurrence, que, pour tout entier naturel $q,\: v_{3q+r} \equiv v_r \:[5]$.
4. En déduire que pour tout entier naturel $n$ le terme $v_n$ est congru à 0, à 1 ou à 4 modulo 5.
5. Conclure quant à l'ensemble des valeurs prises par le chiffre des unités des termes de la suite $\left(v_n\right)$·

 

Partie B

L'objectif de cette partie est de démontrer que $\sqrt{3}$ n'est pas un nombre rationnel en utilisant la matrice $M$.
Pour cela, on effectue un raisonnement par l'absurde et on suppose que $\sqrt{3}$ est un nombre rationnel. Dans ce cas, $\sqrt{3}$ peut s'écrire sous la forme d'une fraction irréductible $\dfrac{p}{q}$ où $p$ et $q$ sont des entiers naturels non nuls, avec $q$ le plus petit entier naturel possible.

1. Montrer que $q < p < 2q$.
2. On admet que la matrice $M$ est inversible. Donner son inverse $M^{-1}$ (aucune justification n'est attendue). Soit le couple $(p' ; q')$ défini par $\begin{pmatrix}p'\\q'\end{pmatrix} = M^{-1}\begin{pmatrix}p\\q\end{pmatrix}$.
3. 1. Vérifier que $p' = 2p - 3q$ et que $q' = -p + 2q.$
   2. Justifier que $(p' ; q')$ est un couple d'entiers relatifs.
   3. On rappelle que $p = q\sqrt{3}$. Montrer que $p' = q'\sqrt{3}$.
   4. Montrer que $0 < q' < q$.
   5. En déduire que $\sqrt{3}$ n'est pas un rationnel.