Baccalauréat STI2D Métropole - La Réunion - 19 juin 2018 - Correction Exercice 2

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Correction de l'exercice 2 (5 points)

Suites

Suites

Après son installation, un lundi matin, un aquarium contient 280 litres d’eau et des poissons. Par évaporation, le volume d’eau dans l’aquarium diminue de 2% par semaine. Compte tenu du nombre de poissons, cet aquarium doit contenir en permanence au minimum 240 litres d’eau.

Partie A

1. Quel volume d'eau restera-t-il dans l'aquarium au bout d’une semaine?
Le volume d'eau restant dans l'aquarium au bout d’une semaine est : \renewcommand{\arraystretch}{1.25} $$\begin{array}{rl} V&=280-\frac{2}{100}\times 280 \\ & =0,98\times 280\\ &=274,4 \end{array}$$ Au bout d'une semaine il restera 274,4 litres d'au dans l'aquarium.
2. Est-il vrai qu’au bout de deux semaines, exactement 4% du volume d’eau initial se seront évaporés? Justifier.
C'est faux ! Au bout de deux semaines, il restera $0,98^2\times 280$. Il se sera échappé $$1-0,98^2=0,0396.$$ Au bout de deux semaines, exactement 3,96% du volume d’eau initial se seront évaporés.
3. Déterminer au bout de combien de semaines le volume d’eau dans l’aquarium deviendra insuffisant.
Notons $V_n$ le volume d'eau restant dans l'aquarium au bout de $n$ semaines.
On cherche le plus petit entier $n$ vérifiant : $V_n < 240$.
Comme on passe de $V_n$ à $V_{n+1}$ en multipliant par 0,98; la suite $\left ( V_n\right)$ est géométrique de raison 0,98.
Ainsi $V_n=q^n\times V_0=280\times 0,98^n$. $$\begin{array}{rll} V_n <240& \iff 280\times 0,98^n < 240&\\ & \iff 0,98^n <\frac{240}{280}&\\ &\iff 0,98^n < \frac{6}{7}&\\ &\iff \ln\left (0,98^n\right ) <\ln \left ( \frac{6}{7}\right )& \ln \text{est strictement croissante sur } ]0;+\infty[\\ &\iff n\ln\left (0,98 \right ) <\ln \left ( \frac{6}{7}\right )& \text{ car } \ln\left (a^n \right )=n\ln a\\ &\iff n> \dfrac{\ln \left ( \frac{6}{7}\right )}{\ln\left (0,98 \right )}&\text{ car } 0,98 <1 \text{ donc } \ln\left (0,98 \right ) <0\\ \end{array}$$ Grâce à une calculatrice, on obtient $\dfrac{\ln \left ( \frac{6}{7}\right )}{\ln\left (0,98 \right )}\approx 7,63$.
Le volume d’eau dans l’aquarium deviendra insuffisant au bout de 8 semaines.

Partie B

On ajoute chaque lundi matin, en une seule fois, 5 litres d’eau pour compenser l’évaporation hebdomadaire de 2%.
On note $u_0$ le volume initial d’eau en litres dans l'aquarium. Ainsi $u_0 = 280$.
Pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1, on note $u_n$ le volume d’eau dans l'aquarium, en litres, $n$ semaines après son installation, immédiatement après l’ajout hebdomadaire des 5 litres d’eau.

1. Vérifier que $u_2 = 278,812$.
   • $u_1= 0,98\times u_0+5=0,98\times 280+5 = 279,4$
   • $u_2= 0,98\times u_1+5=0,98\times 279,4+5 =278,812$
2. Justifier que pour tout entier naturel $n, u_{n+1} = 0,98 u_n + 5$.
Comme $u_n$ est le volume d’eau dans l'aquarium, en litres, $n$ semaines après son installation, immédiatement après l’ajout hebdomadaire des 5 litres d’eau, on a après évaporation de 2 % sur une semaine, il y aura $(1-0,02)u_n=0,98u_n$.
Puis on rajoute 5 litres d'eau, il y aura donc en litres, $n+1$ semaines après son installation: $0,98u_n+5$
D'où le résultat: $u_{n+1} = 0,98 u_n + 5.$
3. Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ n’est pas géométrique.
Si $\left(u_n\right)$ est géométrique de raison $q$ alors $q=\dfrac{u_1}{u_0}=\dfrac{u_2}{u_1}$
Mais $$\dfrac{u_1}{u_0}=\dfrac{u_2}{u_1} \iff u_1^2=u_0\times u_2$$ Or $u_1^2=78\;064,36$ et $u_0\times u_2=78\;067,36$.
On a donc $\dfrac{u_1}{u_0}\neq \dfrac{u_2}{u_1}$, donc la suite $\left(u_n\right)$ n’est pas géométrique.
4. On considère l'algorithme ci-dessous dans lequel $k$ désigne un nombre entier naturel et $U$ un nombre réel.
   $$\begin{array}{| l |} \hline\\ U\gets 280 \\ \text{Pour } k \text{ allant de 1 à } \ldots\\ \hspace{0.5cm} U\gets \ldots \\ \text{Fin pour }\\ \hline \end{array}$$
   1. Recopier et compléter l’algorithme pour qu’à la fin de son exécution, la variable U contienne $u_6$.
   $$\begin{array}{| l |} \hline\\ U\gets 280 \\ \text{Pour } k \text{ allant de 1 à } \color{red}{6}\\ \hspace{0.5cm} U\gets \color{red}{0,98\times U+5 }\\ \text{Fin pour }\\ \hline \end{array}$$
   2. Quel est le volume d’eau dans l’aquarium, en litres à 10$^{-2}$ près, 6 semaines après son installation immédiatement après l’ajout hebdomadaire des 5 litres d’eau.
   Plusieurs méthodes sont possibles :
   On saisit l'algorithme ci-dessus sur une calculatrice
   On obtient $v_6\approx 276,58$
   On peut également utiliser le mode suite de la calculatrice :
   
5. On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n = u_n -250$. On admet que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de raison 0,98.
   1. Calculer $v_0$.
   $v_0=u_0-250=280-250=30$
   2. Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
   Comme $\left(u_n\right)$ est géométrique de raison 0,98, on a pour tout entier $n$: $$v_n= q^n \times v_0= 30 \times 0,98^n$$
   3. En déduire que, pour tout entier naturel $n, u_n = 30 \times 0,98^n + 250$.
   Ayant $v_n = u_n -250$, on déduit $$u_n = v_n +250=30 \times 0,98^n + 250$$
   4. Justifier que la préconisation concernant le volume d’eau dans l'aquarium est respectée.
   Pour tout entier $n$, on a : $0,98^n>0$, donc $30\times 0,98^n >0$, puis $30\times 0,98^n +250>250$.
   Donc pour tout entier $n$, on a $u_n>250$, l'aquaruim contient donc toujours plus de 250 litres. Donc la préconisation concernant le volume d’eau dans l'aquarium est respectée.
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Exercice 3
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