Baccalauréat STI2D Métropole - La Réunion - 19 juin 2018 - Correction Exercice 3

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Correction de l'exercice 3 (6 points)

Fonctions

Le niveau sonore $N$ d’un bruit, à une distance $D$ de sa source, dépend de la puissance sonore $P$ de la source. Il est donné par la relation $$ N =120+4\ln\left(\dfrac{P}{13D^2}\right)$$ où $N$ est exprimé en décibels (dB), $P$ en Watts (W) et $D$ en mètres (m).

Partie A

Les questions 1. et 2. sont indépendantes.

1. Calculer le niveau sonore $N$ d’un bruit entendu à 10 mètres de la source sonore dont la puissance $P$ est égale à 2,6 Watts. On arrondira le résultat à l’unité.
$$ N =120+4\ln\left(\dfrac{P}{13D^2}\right)=120+4\ln\left(\dfrac{2,6}{13\times 10^2}\right)=120+4\ln\left( 2\times 10^{-3}\right)\approx 95\text{dB}$$ Le niveau sonore $N $ d’un bruit entendu à 10 mètres de la source sonore dont la puissance $P $ est égale à 2,6 Watts est envron de 95 dB.
2. On donne $N = 84$ dB et $D = 10$ m. Déterminer $P$. On arrondira le résultat à $10^{-2}$ près.
On cherche $P$ tel que $N=84$ et $D=10$ $$\begin{array}{rl} N=84&\iff 120+4\ln\left(\dfrac{P}{13\times 10^2}\right)= 84\\ & \iff 4 \ln\left(\dfrac{P}{1300}\right)= -36 \\ &\iff \ln\left(\dfrac{P}{1300}\right)= -9\\ &\iff \dfrac{P}{1300}=\text{e}^{-9}\\ &\iff P=1300\text{e}^{-9} \end{array}$$ $P=1300\text{e}^{-9}\approx 0,16W$

Partie B

Une entreprise de travaux publics réalise un parking en plein air. Sur le chantier d’aménagement de ce parking, une machine de découpe a une puissance sonore $P$ égale à 0,026 Watts.

1. 1. Montrer qu'à une distance $D$ de la machine, le niveau sonore $N$ dû à celle-ci vérifie la relation : $$N= 120 + 4\ln(0,002)-4\ln(D^2)$$
   $$\begin{array}{rl} N&= 120+4\ln\left(\dfrac{P}{13D^2}\right)\\ &=120+4\ln\left(\dfrac{0,026}{13D^2}\right) \\ &=120+4\ln\left(\dfrac{0,002\times 13}{13D^2}\right) \\ &=120+4\ln\left(\dfrac{0,002 }{ D^2} \right) \\ &=120+4\ln\left( 0,02\right)-4\ln\left( D^2)\right) \\ \end{array}$$
   2. Montrer qu’une approximation de $N$ peut être $95,14 - 8\ln(D)$.
      Dans la suite de l’exercice, à une distance de $x$ mètres de la machine, le niveau sonore $N$ émis par la machine est modélisé par la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[0,1 ; 20]$ par : $$f(x) = 95,14 - 8 \ln(x)$$
   Il suffit de remarquer que $120+4\ln\left( 0,02\right)\approx 95,14$.
   Ainsi $$=120+4\ln\left( 0,02\right)-4\ln\left( D^2)\right)\approx 95,14 - 8\ln(D)$$ en utilisant $\ln\left( D^2)\right)=2\ln D$
2. 1. Déterminer une expression de $f'(x)$, où $f$ désigne la fonction dérivée de $f$.
   Comme $f(x) = 95,14 - 8 \ln(x)$, on déduit $f'(x)= -8\times \dfrac{1 }{ x}= -\dfrac{8 }{ x}$
   2. Donner le signe de $f'(x)$ pour tout $x$ de l'intervalle $[0,1 ; 20]$.
   On étudie le signe de la dérivée : ici $x>0$ et $-8 < 0$ , donc $-\dfrac{8 }{ x} < 0$
   
   3. En déduire le sens de variation de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0,1 ; 20]$.
   La dérivée étant strictement négative sur l’intervalle $[0,1 ; 20]$, on conclut que la fonction $f$ est strictement décroissante sur l’intervalle $[0,1 ; 20]$.
3. On suppose qu’un ouvrier de cette entreprise se situe à trois mètres de la machine. La législation en vigueur l’oblige à porter des protections individuelles contre le bruit dès qu’un risque apparaît. Justifier, à l’aide du tableau ci-dessous, que l’ouvrier doit porter des protections individuelles contre le bruit. $$\begin{array}{|c|c|} \hline \textbf{Impacts sur l'audition}& \textbf{Niveaux sonores en décibels} \\ \hline \text{Aucun}& [0;85[\\ \hline \text{ Risque faible } &[85; 90[ \\ \hline \text{ Risque élevé } & [90; 120[\\ \hline \end{array}$$
On calcule $f(3)\approx 86,35$ dB.
A 3 mètres de la. machine, le niveau sonore est dans l'intervalle de risque faible et donc l'ouvrier devra porter des protections individuelles contre le bruit.
4. Déterminer à quelle distance de la machine un ouvrier de l'entreprise sort de la zone de risque élevé ( c'est-à-dire lorsque le niveau sonore est inférieur à 90 dB).
On résout l'inéquation $f(x)< 90$. $$\begin{array}{rl} f(x)<90& \iff 95,14 - 8 \ln(x) <90\\ &\iff -8 \ln x < -5,14\\ &\iff \ln x >\dfrac{ 5,14}{8}\\ &\iff x>\text{e}^{ \frac{ 5,14}{8}} \end{array}$$ Comme $\text{e}^{ \frac{ 5,14}{8}}\approx 1,901$ Une distance de la machine d’au moins 1,91 m permet à un ouvrier de l’entreprise sortir de la zone de risque élevé.

Partie C

On s’intéresse au lien entre la puissance $P$ d’un bruit et la distance $D$ de sa source pour différentes valeurs de son niveau sonore $N$.

On admet que pour une puissance de 0,02 Watt, le niveau sonore du bruit est de 74,9 décibels à une distance de 11 mètres de la source sonore. Ainsi, le point A de coordonnées (0,02; 11) appartient à la courbe $\mathcal{C}_N=74,9$.

1. Pour un bruit de puissance $P$ égale à 0,06 W, déterminer graphiquement à quelles distances minimale et maximale de la source peut se situer une personne pour que le niveau sonore $N$ soit compris entre 85 et 90 dB.
Pour un bruit de puissance $P$ égale à 0,06W, on lit (trait vertical en 0,06) une distance minimale de 3m et maximale de 5,4m de la source que peut se situer une personne pour que le niveau sonore $N $soit compris entre 85 et 90 dB.
2. Pour une source sonore située à une distance $D$ de 8 m, déterminer graphiquement les puissances minimale et maximale de cette source pour obtenir un niveau sonore compris entre 74,9 dB et 79,8 dB.
Pour une source sonore située à une distance $D$ de 8 m, on lit (trait horizontal en 8) une puissance minimale de 0,011W et maximale de 0,036W de cette source pour obtenir un niveau sonore compris entre 74,9 dB et 79,8 dB.