Baccalauréat S Amérique du Sud 24 novembre 2015 - Correction Exercice 2

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Correction de l'exercice 2 4 points

Commun à tous les candidats

 

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse.

Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. L'absence de réponse n'est pas pénalisée. Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte.

L'espace est muni d'un repère orthonormé $(,O;\vec{i},\vec{j},\vec{k}\,)$. Les points A, B, C sont définis par leurs coordonnées : \[\text{A}(3;-1;4),\quad \text{B}(-1;2;-3),\quad \text{C}(4;-1;2).\] Le plan $\mathcal{P}$ a pour équation cartésienne : $2x - 3y + 2z - 7 = 0$. La droite $\Delta$ a pour représentation paramétrique $\left\{\begin{array}{l c l} x &=& - 1 + 4t\\ y &=&\phantom{-} 4 - t\\ z &=& - 8 + 2t \end{array}\right., \:t \in \mathbb R$.

1. Affirmation 1 : Les droites $\Delta$ et (AC) sont orthogonales.
On a $\overrightarrow{AC}(1;0;-2)$.
Un vecteur directeur de $\Delta$ est $\vec{u}(4;-1;2)$.
Ainsi $\overrightarrow{AC}.\vec{u}=4+0-4=0$.
Les droites $\Delta$ et $(AC)$ sont donc orthogonales.
L’affirmation est vraie.
$\quad$
2. Affirmation 2 : Les points A, B et C déterminent un plan et ce plan a pour équation cartésienne $2x + 5y + z - 5 = 0$.
$\overrightarrow{AB}(-4;3;-7)$ et $\overrightarrow{AC}(1;0;-2)$
$\dfrac{1}{-4} \neq \dfrac{0}{3}$. Ces deux vecteurs ne sont donc pas colinéaires et les points $A$, $B$ et $C$ définissent un plan.
Regardons si les coordonnées des points $A, B$ et $C$ vérifient l’équation $2x+5y+z-5=0$.
$2\times 3+5\times (-1)+4-5 = 6-5+4-5=0 \checkmark$
$2\times (-1)+5\times 2-3-5=-2+10-3-5=0 \checkmark$
$2\times 4+5\times (-1)+2-5=8-5+2-5=0 \checkmark$
$2x+5y+z-5=0$ est donc une équation cartésienne du plan $(ABC)$.
L’affirmation est vraie.
$\quad$
3. Affirmation 3 : Tous les points dont les coordonnées $(x;y;z)$ sont données par $\left\{\begin{array}{l c l} x &=& 1 + \phantom{2}s - 2s'\\ y &=& 1 - 2s + \phantom{2}s'\\ z &=& 1- 4s + 2s' \end{array}\right., \: s \in \mathbb R,\: s' \in \mathbb R$ appartiennent au plan $\mathcal{P}$.
Regardons si les coordonnées données vérifient l’équation du plan $P$.
$2(1+s-2s’)-3(1-2s+s’)+2(1-4s+2s’)-7$ $=2+2s-4s’-3+6s-3s’+2-8s+4s’-7$ $ = -6-3s’$.
Or $-6-3s’$ n’est pas toujours égal à $0$.
L’affirmation est fausse.
$\quad$
4. Affirmation 4 : Il existe un plan parallèle au plan $\mathcal{P}$ qui contient la droite $\Delta$.
Un vecteur normal à $P$ est $\vec{n}(2;-3;2)$.
Un vecteur directeur de $\Delta$ est $\vec{u}(4;-1;2)$.
$\vec{n}.\vec{u}=8+3+4=15 \neq 0$
La droite $\Delta$ ne peut donc pas appartenir à un plan parallèle à $P$.
L’affirmation est fausse.
$\quad$