Baccalauréat S Amérique du Sud 24 novembre 2015 - Correction Spécialité

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Correction de l'exercice de Spécialité 5 points

Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Dans un pays de population constante égale à 120 millions, les habitants vivent soit en zone rurale, soit en ville. Les mouvements de population peuvent être modélisés de la façon suivante :

• en 2010, la population compte $90$ millions de ruraux et $30$ millions de citadins ;
• chaque année, 10 % des ruraux émigrent à la ville;
• chaque année, 5 % des citadins émigrent en zone rurale.

Pour tout entier naturel $n$, on note :

• $R_n$ l'effectif de la population rurale, exprimé en millions d'habitants, en l'année $2010 + n$,
• $C_n$ l'effectif de la population citadine, exprimé en millions d'habitants, en l'année $2010+n$.

On a donc $R_0 = 90$ et $C_0 = 30$.

1. On considère les matrices $M = \begin{pmatrix}0,9& 0,05\\0,1& 0,95\end{pmatrix}$ et, pour tout entier naturel $n,$ $U_n = \begin{pmatrix}R_n\\C_n \end{pmatrix}$.
   1. Démontrer que, pour tout entier naturel $n,\: U_{n+1} = MU_n$.
   Chaque année $90\%$ des ruraux restent à la campagne et $95\%$ des citadins restent à la ville.
   Ainsi, pour tout entier naturel $n$, on a $R_{n+1}=0,9R_n+0,05C_n$ et $C_{n+1}=0,10R_n+0,95C_n$.
   $MU_{n}=\begin{pmatrix} 0,9R_n+0,05C_n\\\\0,1R_n+0,95C_n\end{pmatrix}=U_{n+1}$
   $\quad$
   
   2. Calculer $U_1$. En déduire le nombre de ruraux et le nombre de citadins en 2011.
   $U_1=\begin{pmatrix} 0,9\times 90+0,05\times 30\\\\0,1 \times 90 + 0,95 \times 30\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 82,5\\\\37,5\end{pmatrix}$
   $\quad$
   En 2011, il y avait donc $82,5$ millions de ruraux et $37,5$ millions de citadins.
   $\quad$
2. Pour tout entier naturel $n$ non nul, exprimer $U_n$ en fonction de $M^n$ et de $U_0$.
Puisque $U_{n+1}=MU_n$ alors on a $U_n=M^nU_0$.
$\quad$
3. Soit la matrice $P = \begin{pmatrix}1&1\\2&- 1 \end{pmatrix}$. Montrer que la matrice $\begin{pmatrix}\dfrac{1}{3}&\dfrac{1}{3}\\\dfrac{2}{3}&-\dfrac{1}{3}\end{pmatrix}$ est la matrice inverse de $P$ et on la notera $P^{-1}$.
$\begin{pmatrix}1&1\\2&-1\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}\dfrac{1}{3}&\dfrac{1}{3}\\\\\dfrac{2}{3}&-\dfrac{1}{3}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3}&\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{3}\\\\\dfrac{2}{3}-\dfrac{2}{3}&\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{3}\end{pmatrix} = I_2$
où $I_2$ est la matrice identité d’ordre $2$
La matrice $P$ est donc inversible et son inverse est la matrice $\begin{pmatrix}\dfrac{1}{3}&\dfrac{1}{3}\\\\\dfrac{2}{3}&-\dfrac{1}{3}\end{pmatrix}$.
$\quad$
4. 1. On pose $\Delta = P^{-1}MP$. Calculer $\Delta$ à l'aide de la calculatrice.
   A l’aide de la calculatrice, on trouve $\Delta = \begin{pmatrix}1&0&\\0&0,85\end{pmatrix}$.
   $\quad$
   
   2. Démontrer que : $M = P\Delta P^{-1}$.
   $\Delta=P^{-1}MP \Leftrightarrow P\Delta=MP \Leftrightarrow P\Delta P^{-1}=M$
   $\quad$
   
   3. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ non nul: \[M^n = P\Delta^nP^{-1}.\]
   Initialisation : Si $n=1$, d’après la question précédente, $M=P\Delta P^{-1}$.
   La propriété est vraie au rang $1$.
   $\quad$
   Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$ : $M^n=P\Delta^n P^{-1}$.
   $M^{n+1}=M^nM=P \Delta^n P^{-1}P\Delta P^{-1} = P\Delta^n \Delta P^{-1} = P\Delta^{n+1} P^{-1}$
   La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
   $\quad$
   Conclusion : La propriété est vraie au rang $1$ et est héréditaire.
   Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ non nul, on a $M^n=P\Delta^n P^{-1}$.
5. 1. On admet que le calcul matriciel précédent donne : \[ M^n = \begin{pmatrix}\dfrac{1}{3} + \dfrac{2}{3} \times 0,85^n&\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{3} \times 0,85^n\\\dfrac{2}{3} - \dfrac{2}{3} \times 0,85^n&\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{3} \times 0,85^n\end{pmatrix}.\] En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $R_n = 50 \times 0,85^n + 40$ et déterminer l'expression de $C_n$ en fonction de $n$.
   On a $U_n=M^nU_0$ donc $U_n=\begin{pmatrix} 30+60\times 0,85^n+10-10\times 0,85^n\\\\60-60\times 0,85^n+20+10\times 0,85^n\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 40+50\times 0,85^n\\80-50\times 0,85^n\end{pmatrix}$
   On a donc $R_n=50\times 0,85^n+40$ et $C_n=80-50\times 0,85^n$.
   $\quad$
   
   2. Déterminer la limite de $R_n$ et de $C_n$ lorsque $n$ tend vers $+ \infty$. Que peut-on en conclure pour la population étudiée ?
   $0<0,85<1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} 0,85^n=0$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} R_n=50$ et $\lim\limits_{n \to +\infty} C_n=80$.
   $\quad$
6. 1. On admet que $\left(R_n\right)$ est décroissante et que $\left(C_n\right)$ est croissante. Compléter l'algorithme donné en annexe afin qu'il affiche le nombre d'années au bout duquel la population urbaine dépassera la population rurale.
   Entrée :
   $\quad$ $n, R$ et $C$ sont des nombres
   Initialisation :
   $\quad$ $n$ prend la valeur $0$
   $\quad$ $R$ prend la valeur $90$
   $\quad$ $C$ prend la valeur $30$
   Traitement :
   $\quad$ Tant que $R\ge C$ faire
   $\qquad$ $n$ prend la valeur $n+1$
   $\qquad$ $R$ prend la valeur $50\times 0,85^n+40$
   $\qquad$ $C$ prend la valeur $120-R$
   $\quad$ Fin Tant que
   Sortie :
   $\quad$ Afficher $n$
   $\quad$
   
   2. En résolvant l'inéquation d'inconnue $n, 50 \times 0,85^n + 40 < 80 - 50 \times 0,85^n$, retrouver la valeur affichée par l'algorithme.
   $\begin{align*} 50\times 0,85^n+40<80-50\times 0,85^n &\Leftrightarrow 100\times 0,85^n<40 \\\\
   &\Leftrightarrow 0,85^n < 0,4 \\\\
   &\Leftrightarrow n \ln 0,85 < \ln 0,4 \\\\
   &\Leftrightarrow n > \dfrac{\ln 0,4}{\ln 0,85}\\\\
   & \Leftrightarrow n>6
   \end{align*}$
   L’algorithme affichera donc $6$.