Baccalauréat S Amérique du Sud 24 novembre 2015 - Correction Exercice 4

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Correction de l'exercice 4 5 points

Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Dans un pays de population constante égale à 120 millions, les habitants vivent soit en zone rurale, soit en ville. Les mouvements de population peuvent être modélisés de la façon suivante :

• en 2010, la population compte $90$ millions de ruraux et $30$ millions de citadins ;
• chaque année, 10 % des ruraux émigrent à la ville ;
• chaque année, 5 % des citadins émigrent en zone rurale.

Pour tout entier naturel $n$, on note :

• $u_n$ la population en zone rurale, en l'année $2010 + n$, exprimée en millions d'habitants ;
• $v_n$ la population en ville, en l'année $2010 + n$, exprimée en millions d'habitants.

On a donc $u_0 = 90$ et $v_0 = 30$.

Partie A

 

1. Traduire le fait que la population totale est constante par une relation liant $u_n$ et $v_n$.
On a $u_n+v_n=120$ pour tout entier naturel $n$.

2. On utilise un tableur pour visualiser l'évolution des suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$. Quelles formules peut-on saisir dans les cellules B3 et C3 qui, recopiées vers le bas, permettent d'obtenir la feuille de calcul ci-dessous : $$\begin{array} {|c|c|c|c|}\hline &A &B&C\\ \hline 1&n &\text{ Population en zone rurale }&\text{ Population en ville }\\ \hline 2&0 &90 &30\\ \hline 3&1 &82,5 &37,5\\ \hline 4&2 &76,125 &43,875\\ \hline 5&3 &70,706 &49,294\\ \hline 6&4 &66,100 &53,900\\ \hline 7&5 &62,185 &57.815\\ \hline 8&6 &58,857 &61,143\\ \hline 9&7 &56,029 &63,971\\ \hline 10&8&53,625 &66,375\\ \hline 11&9&51,581 &68,419\\ \hline 12&10&49,844 &70,156\\ \hline 13&11&48,367 &71,633\\ \hline 14&12&47,112 &72,888\\ \hline 15&13&46,045 &73,955\\ \hline 16&14&45,138 &74,862\\ \hline 17&15&44,368 &75,632\\ \hline 18&16&43,713 &76,287\\ \hline 19&17&43,156 &76,844\\ \hline 20&18&42,682 &77,318\\ \hline 21&19&42,280 &77,720\\ \hline 22&20&41,938 &78,062\\ \hline \ldots&\ldots&\ldots&\ldots\\\hline 59&57 &40,005 &79,995\\ \hline 60&58 &40,004 &79,996\\ \hline 61&59 &40,003 &79,997\\ \hline 62&60 &40,003 &79,997\\ \hline 63&61 &40,002 &79,998\\ \hline \end{array}$$
En $B3$ on peut saisir : $=B2*0,9+C2*0,05$ et en $C3$ : $=B2*0,1+C2*0,95$
$\quad$
3. Quelles conjectures peut-on faire concernant l'évolution à long terme de cette population ?
On peut conjecturer que la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante, la suite $\left(v_n\right)$ est croissante et que sur le long terme, il y aura $40$ millions de ruraux et $80$ millions de citadins.
$\quad$

 

Partie B

On admet dans cette partie que, pour tout entier naturel $n,\quad u_{n+1} = 0,85u_n + 6$.

1. 1. Démontrer par récurrence que la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante.
   Initialisation : Si $n=0$, $u_0=90$ et $u_1=82,5$
   On a bien $u_1<u_0$. La suite est décroissante.
   La propriété est vraie au rang $0$.
   $\quad$
   Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $u_{n+1} \le u_n$ soit $u_{n+1}-u_n \le 0$
   $\begin{align*} u_{n+2}-u_{n+1} &= 0,85u_{n+1}+6-\left(0,85u_n+6\right) \\\\
   &=0,85u_{n+1}-0,85u_n \\\\
   &=0,85\left(u_{n+1}-u_n\right)\\\\
   &\le 0
   \end{align*}$
   Par conséquent la propriété est vraie au rang $n+1$.
   $\quad$
   Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
   Par conséquent, pour tout entier naturel $u_{n+1} \le u_n$ et la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante.
   $\quad$
   
   2. On admet que $u_n$ est positif pour tout entier naturel $n$. Que peut-on en déduire quant à la suite $\left(u_n\right)$ ?
   La suite $\left(u_n\right)$ est décroissante et minorée par $0$. Elle est donc convergente.
   $\quad$
2. On considère la suite $\left(w_n\right)$, définie par : $w_n = u_n - 40$, pour tout $n \geqslant 0$.
   1. Démontrer que $\left(w_n\right)$ est une suite géométrique de raison $0,85$.
   $\begin{align*} w_{n+1} &=u_{n+1}-40 \\\\
   &=0,85u_n+6-40 \\\\
   &=0,85u_n-34\\\\
   &=0,85u_n-0,85\times 40\\\\
   &=0,85\left(u_n-40\right) \\\\
   &=0,85w_n
   \end{align*}$
   La suite $\left(w_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,85$ et de premier terme $w_0=u_0-40=50$.
   $\quad$
   
   2. En déduire l'expression de $w_n$ puis de $u_n$ en fonction de $n$.
   On a donc $w_n=50\times 0,85^n$.
   Or $u_n=w_n+40$ donc $u_n = 40+50\times 0,85^n$.
   $\quad$
   
   3. Déterminer l'expression de $v_n$ en fonction de $n$.
   Puisque $u_n+v_n=120$ on a alors $v_n=120-u_n = 80-50\times 0,85^n$.
   $\quad$
   La suite $\left(u_n\right)$ est bien décroissante et la suite $\left(v_n\right)$, du fait que la population est constante, est croissante.
   $0<0,85<1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} 0,85^n=0$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=40$ et $\lim\limits_{n \to +\infty} v_n=80$.
   Les conjectures faites à la partie A sont donc validées.
3. Valider ou invalider les conjectures effectuées à la question \textbf{3.} de la \textbf{partie A}.
4. On considère l'algorithme suivant : $$ \begin{array}{|c|c|}\hline \text{Entrée :} & n \text{ et } u \text{sont des nombres }\\\hline \text{Initialisation :}&n \text{ prend la valeur } 0\\ \hline &u \text{ prend la valeur } 90\\ \text{Traitement :} &\text{Tant que } u \geqslant 120 - u \text{ faire }\\\hline &\hspace{0.75cm}n \text{ prend la valeur }n + 1\\ &\hspace{0.75cm}u \text{ prend la valeur } 0,85 \times u + 6\\ &\text{ Fin Tant que }\\ \text{ Sortie : } &\text{Afficher } n \\ \hline \end{array} $$
   1. Que fait cet algorithme ?
   La boucle s’arrête quand $u \le 120-u$ soit $u<v$.
   Cet algorithme détermine donc le nombre d’années nécessaires pour que la population rurale soit inférieure à la population citadine
   
   2. Quelle valeur affiche-t-il ?
   D’après la feuille de calcul, l’algorithme affiche $6$