Baccalauréat S Amérique du Sud 24 novembre 2015 - Spécialité

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Spécialité 5 points

Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Dans un pays de population constante égale à 120 millions, les habitants vivent soit en zone rurale, soit en ville. Les mouvements de population peuvent être modélisés de la façon suivante :

• en 2010, la population compte $90$ millions de ruraux et $30$ millions de citadins ;
• chaque année, 10 % des ruraux émigrent à la ville;
• chaque année, 5 % des citadins émigrent en zone rurale.

Pour tout entier naturel $n$, on note :

• $R_n$ l'effectif de la population rurale, exprimé en millions d'habitants, en l'année $2010 + n$,
• $C_n$ l'effectif de la population citadine, exprimé en millions d'habitants, en l'année $2010+n$.

On a donc $R_0 = 90$ et $C_0 = 30$.

1. On considère les matrices $M = \begin{pmatrix}0,9& 0,05\\0,1& 0,95\end{pmatrix}$ et, pour tout entier naturel $n,$ $U_n = \begin{pmatrix}R_n\\C_n \end{pmatrix}$.
   1. Démontrer que, pour tout entier naturel $n,\: U_{n+1} = MU_n$.
   2. Calculer $U_1$. En déduire le nombre de ruraux et le nombre de citadins en 2011.
2. Pour tout entier naturel $n$ non nul, exprimer $U_n$ en fonction de $M^n$ et de $U_0$.
3. Soit la matrice $P = \begin{pmatrix}1&1\\2&- 1 \end{pmatrix}$. Montrer que la matrice  $\begin{pmatrix}\dfrac{1}{3}&\dfrac{1}{3}\\\dfrac{2}{3}&-\dfrac{1}{3}\end{pmatrix}$ est la matrice inverse de $P$ et on la notera $P^{-1}$.
4. 1. On pose $\Delta = P^{-1}MP$. Calculer $\Delta$ à l'aide de la calculatrice.
   2. Démontrer que : $M = P\Delta P^{-1}$.
   3. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ non nul: \[M^n = P\Delta^nP^{-1}.\]
5. 1. On admet que le calcul matriciel précédent donne : \[ M^n = \begin{pmatrix}\dfrac{1}{3} + \dfrac{2}{3} \times 0,85^n&\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{3} \times 0,85^n\\\dfrac{2}{3} - \dfrac{2}{3} \times 0,85^n&\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{3} \times 0,85^n\end{pmatrix}.\] En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $R_n = 50 \times 0,85^n + 40$ et déterminer l'expression de $C_n$ en fonction de $n$.
   2. Déterminer la limite de $R_n$ et de $C_n$ lorsque $n$ tend vers $+ \infty$. Que peut-on en conclure pour la population étudiée ?
6. 1. On admet que $\left(R_n\right)$ est décroissante et que $\left(C_n\right)$ est croissante. Compléter l'algorithme donné en annexe afin qu'il affiche le nombre d'années au bout duquel la population urbaine dépassera la population rurale.
   2. En résolvant l'inéquation d'inconnue $n, 50 \times 0,85^n + 40 < 80 - 50 \times 0,85^n$, retrouver la valeur affichée par l'algorithme.