Baccalauréat STI 2D/STL spécialité SPCL Antilles-Guyane 19 juin 2014 - Correction Exercice 1

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Correction de l'exercice 1 (5 points)

QCM nombres complexes, suites et équations différentielles

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse à une question ne rapportent ni n'enlèvent aucun point. Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse correspondante choisie.

Pour tout réel $x$ on a $\text{e}^{- x}=\dfrac{1}{\text{e}^{x}}$
1. Soit $x$ un réel quelconque, $\text{e}^{- 4x}$ est égal à :
   1. FAUX
   2. FAUX
   3. FAUX
   4. VRAI : $\dfrac{1}{\text{e}^{4x}}$
2. L'intégrale $\displaystyle\int_{\ln 2}^{\ln 3}\text{e}^{2x}\:\text{d}x$ est égale à : $$\begin{array}{ll} I&= \displaystyle\int_{\ln 2}^{\ln 3}\text{e}^{2x}\:\text{d}x\\ & = \left [ \dfrac{1}{2} \text{e}^{2x}\right ]_{\ln 2 }^{\ln 3} \\ & = \dfrac{1}{2} \text{e}^{2\ln 3} - \dfrac{1}{2} \text{e}^{2\ln 2} \\ & = \dfrac{1}{2} \text{e}^{\ln 9} - \dfrac{1}{2} \text{e}^{\ln 4} \\ & = \dfrac{9}{2} - \dfrac{4}{2} \\ & = \dfrac{5}{2} \\ \end{array}$$
   1. FAUX
   2. FAUX
   3. VRAI $I=$2,5
   4. FAUX
3. $\left(u_{n}\right)$ est la suite géométrique de premier terme $u_{0} = 5$ et de raison $0,98$. $\left(v_{n}\right)$ est la suite géométrique de premier terme $v_{0} = 2,8$ et de raison $1,02$. Le plus petit entier $n$ vérifiant $u_{n} \leqslant v_{n}$ est : $$\begin{array}{ll} u_n\leq v_n &\iff 5 \times 0,98 ^n \leq 2,8 \times 1,02^n &\\ & \iff \dfrac{0,98^n}{1,02^n} \leq \dfrac{2,8}{1,02} & u_n=q ^n \times u_0\\ & \iff \left (\dfrac{0,98}{1,02}\right )^n \leq 0,56 & \\ & \iff \ln \left ( \left (\dfrac{0,98}{1,02}\right )^n \right ) \leq \ln (0,56) & \text{ On apllique } \ln \\ & \iff n\ln \left ( \dfrac{0,98}{1,02} \right ) \leq \ln (0,56) & \text{strictement croissante sur } ]0;+\infty[ \\ & \iff n \geq \dfrac{ \ln (0,56) }{\ln \left ( \dfrac{0,98}{1,02} \right )} & \text{car } \ln \left ( \dfrac{0,98}{1,02} \right ) < 0 \\ \end{array}$$ Par ailleurs $ \dfrac{ \ln (0,56) }{\ln \left ( \dfrac{0,98}{1,02} \right )}\approx 14,5$
   Le plus petit entier $n$ vérifiant $u_{n} \leqslant v_{n}$ est 15.
   1. FAUX
   2. VRAI : 15
   3. FAUX
   4. FAUX
4. $\left(u_{n}\right)$ est la suite géométrique de premier terme $u_{0} = 1$ et de raison $\dfrac{5}{3}$. On donne l'algorithme suivant : $$\begin{array}{|l |l|}\hline \text{Variables} & n, u\\ \text{Initialisation} & u \text{ prend la valeur 1}\\ &n \text{ prend la valeur 0}\\ \text{Traitement} & \text{ Tant que } u < 1000 \\ &\quad n \text{ prend la valeur } n + 1\\ &\quad u \text{ prend la valeur } u \times \dfrac{5}{3}\\ &\text{ Fin tant que}\\ \text{Sortie} & \text{ Afficher } n\\ \hline \end{array}$$ Cet algorithme affiche en sortie :
   1. FAUX
   2. FAUX
   3. VRAI :la plus petite valeur de $n$ vérifiant $u_{n} \geqslant 1000$
   4. FAUX
5. Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = 2 \cos \left(\dfrac{4}{3}x - \dfrac{\pi}{6}\right)$. Pour tout réel $x$ on a $$f'(x)= 2 \times \dfrac{4}{3}\times \left (-\sin \left(\dfrac{4}{3}x - \dfrac{\pi}{6}\right)\right )=-\dfrac{8}{3}\sin \left(\dfrac{4}{3}x - \dfrac{\pi}{6}\right)$$ De même on calcule $$f''(x)=-\dfrac{8}{3}\times \dfrac{4}{3} \cos \left(\dfrac{4}{3}x - \dfrac{\pi}{6}\right)=-\dfrac{32}{9} \cos \left(\dfrac{4}{3}x - \dfrac{\pi}{6}\right)$$ On a alors $$9\times f''(x)+16 \times f(x)= 9\times \left (-\dfrac{32}{9} \cos \left(\dfrac{4}{3}x - \dfrac{\pi}{6}\right)\right )+16\times 2 \cos \left(\dfrac{4}{3}x - \dfrac{\pi}{6}\right)$$ soit $$9\times f''(x)+16 \times f(x)=-32 \cos \left(\dfrac{4}{3}x - \dfrac{\pi}{6}\right)+32 \cos \left(\dfrac{4}{3}x - \dfrac{\pi}{6}\right)+0$$ La fonction $f$ est une solution de l'équation différentielle $9y'' + 16y = 0$.
   1. FAUX
   2. FAUX
   3. VRAI :$9y'' + 16y = 0$
   4. FAUX