Baccalauréat STI 2D/STL spécialité SPCL Antilles-Guyane 19 juin 2014 - Correction de l'Exercice 3

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Exercice 3 5 points

Nombres complexes

Les parties A et B de cet exercice sont indépendantes.
Le plan est rapporté à un repère orthonormal $\left(\text{O},~\vec{u},~\vec{v}\right)$d'unités 5 cm.
On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.
Soit $z$ le nombre complexe de module 2 et d'argument $\dfrac{\pi}{3}$,
$\overline{z}$ est le nombre complexe conjugué de $z$.

PARTIE A

1. Donner les écritures algébriques de $z$, de $\overline{z}$ et de $\dfrac{1}{2}\overline{z}$.

$z=2e^{i\frac{\pi}{3}}=2\left(\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\right)=2\left(\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt 3}{2}\right)= 1 + i \sqrt 3$
$$z= 1 + i \sqrt 3$$ $$\overline{z}= 1 - i \sqrt 3$$ $$\dfrac{1}{2}\overline{z}= \dfrac{1}{2}-i\dfrac{\sqrt 3}{2}$$
2. On considère le nombre complexe $p = \dfrac{2 + \overline{z}}{2 - \overline{z}}$.
   1. Montrer que $p = - \text{i}\sqrt{3}$.
   
   $$\begin{array}{ll} \dfrac{2 + \overline{z}}{2 - \overline{z}} &= \dfrac{2+1 - i \sqrt 3}{2-1 + i \sqrt 3}\\ & = \dfrac{3 - i \sqrt 3}{1 + i \sqrt 3} \\ & = \dfrac{(3 - i \sqrt 3)( 1 - i \sqrt 3)}{(1 + i \sqrt 3)( 1 - i \sqrt 3)} \\ & = \dfrac{3 -3 i \sqrt{3} -i \sqrt{3}+3i^2}{1^2+\left (\sqrt{3}\right )^2} \\ & = \dfrac{3 -4 i \sqrt{3} -3}{4} \\ & = -i \sqrt{3} \\ \end{array}$$
   Ainsi $p= -i \sqrt{3}$
   2. Les points M, N et P sont les points d'affixes respectives 1, $\dfrac{1}{2}\overline{z}$ et $p$. Placer ces trois points dans le repère.
      Justifier l'alignement de ces trois points.
   
   
   • L'affixe du vecteur $\vec{MN}$ est $z_{\vec{MN}}=z_N-z_M= \dfrac{1}{2}-i\dfrac{\sqrt 3}{2}-1=-\dfrac{1}{2}-i\dfrac{\sqrt 3}{2}$
   • L'affixe du vecteur $\vec{MP}$ est $z_{\vec{MP}}=z_P-z_M= -i \sqrt{3}-1=-1-i \sqrt 3 $
   • De $z_{\vec{MP}}=2z_{\vec{MN}}$ on déduit l'égalité $\vec{MP}=2 \vec{MN}$ on déduit que les vecteurs $\vec{MN}$ et $\vec{MP}$ sont colinéaires donc les points M, N et P sont alignés.

PARTIE B

Soit $u$ le nombre complexe défini par $u = \dfrac{1}{2}z$.

1. Écrire $u$ sous la forme exponentielle.


2. 1. Donner l'écriture exponentielle puis l'écriture algébrique de $u^3$.
   
   $u = \dfrac{1}{2}z$ donc $u$ est le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{3}$ d'où :$u=e^{i\frac{\pi}{3}}$
   On a alors $u^3= \left (e^{i\frac{\pi}{3}}\right )^3= e^{i\frac{3\pi}{3}}=e^{i\pi}$ $$u^3= e^{i\pi}=-1$$
   2. Vérifier les relations suivantes : $u^4 = - u$ et $u^5 = - u^2$.
   
   $$u^4=u^3 \times u =-1 \times u=-u$$ $$u^5=u^3 \times u^2 =-1 \times u^2=-u^2$$
   3. Vérifier que $1 + u + u^2 + u^3 + u^4 + u^5 + u^6 = 1$.
   
   $$u^6=\left (u^3\right )^2=(-1)^2$$ On a alors : $$1 + u + u^2 + u^3 + u^4 + u^5 + u^6=1 + u + u^2 -1 -u-u^2 + 1=1$$