Baccalauréat STI 2D/STL spécialité SPCL Antilles-Guyane 19 juin 2014 - Exercice 4

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Exercice 4 6 points

Fonction logarithme On note $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par \[f(x) = (2 - \ln x) \ln x.\] Sa courbe représentative $\mathcal{C}_{f}$ dans un repère orthonormal est donnée sur la feuille ANNEXE .

1. Lire sur le graphique la limite de la fonction f en O. Retrouver ce résultat à l'aide de l'expression de f(x).
2. Montrer que la fonction dérivée de f sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ est définie par $f'(x) = \dfrac{2(1 - \ln x)}{x}$.
3. Étudier le signe de $f'(x)$ lorsque $x$ est dans l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ puis donner les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
4. 1. On appelle A et B les points d'intersection de la courbe $\mathcal{C}_{f}$ avec l'axe des abscisses (Voir le graphique). Calculer les abscisses des points A et B.
   2. Calculer le coefficient directeur de la tangente $\mathcal{T}$ à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ au point A. Tracer la droite $\mathcal{T}$ sur le graphique donné en annexe.
5. Montrer que la fonction $F$ définie par \[F(x) = - x(\ln x)^2 + 4x \ln x - 4x\] est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
6. On note $\mathcal{D}$ le domaine du plan limité par la courbe $\mathcal{C}_{f}$, l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives $x = 1$ et $x = \text{e}^2$.
   1. Hachurer sur le graphique donné en annexe le domaine $\mathcal{D}$.
   2. Calculer l'aire du domaine $\mathcal{D}$.