Baccalauréat STI 2D/STL spécialité SPCL Antilles-Guyane 19 juin 2014 - Exercice 3

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Exercice 3 5 points

Nombres complexes

Les parties A et B de cet exercice sont indépendantes.
Le plan est rapporté à un repère orthonormal $\left(\text{O},~\vec{u},~\vec{v}\right)$d'unités 5 cm.
On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.
Soit $z$ le nombre complexe de module 2 et d'argument $\dfrac{\pi}{3}$,
$\overline{z}$ est le nombre complexe conjugué de $z$.

PARTIE A

1. Donner les écritures algébriques de $z$, de $\overline{z}$ et de $\dfrac{1}{2}\overline{z}$.
2. On considère le nombre complexe $p = \dfrac{2 + \overline{z}}{2 - \overline{z}}$.
   1. Montrer que $p = - \text{i}\sqrt{3}$.
   2. Les points M, N et P sont les points d'affixes respectives 1, $\dfrac{1}{2}\overline{z}$ et $p$. Placer ces trois points dans le repère. Justifier l'alignement de ces trois points.

PARTIE B

Soit $u$ le nombre complexe défini par $u = \dfrac{1}{2}z$.

1. Écrire $u$ sous la forme exponentielle.
2. 1. Donner l'écriture exponentielle puis l'écriture algébrique de $u^3$.
   2. Vérifier les relations suivantes : $u^4 = - u$ et $u^5 = - u^2$.
   3. Vérifier que $1 + u + u^2 + u^3 + u^4 + u^5 + u^6 = 1$.