Baccalauréat STI 2D/STL spécialité SPCL Antilles-Guyane 19 juin 2014 - Correction de l'Exercice 2

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Exercice 2 5 points

Probabilités

Dans cet exercice, on s'intéresse à deux types A et B de téléviseurs à écran plat. Les réponses aux questions 1. a., 1. b. et 1. c. seront arrondies au centième.

1. La durée de fonctionnement, exprimée en heures, d'un téléviseur du type A, avant que survienne la première panne, est modélisée par une variable aléatoire $X$ suivant la loi exponentielle de paramètre $\lambda = 2 \times 10^{-5}$.
   1. Calculer la probabilité que la première panne survienne avant la 32000 $^e$ heure de fonctionnement.
   
   $X $suivant la loi exponentielle de paramètre $\lambda = 2 \times 10^{-5}$ alors, $$\begin{array}{ll} p(X\leq 3200)&= \displaystyle\int_{0}^{3200} 2 \times 10^{-5}\text{e}^{-2 \times 10^{-5} t}\:\text{d}t\\ & = \left [ -\text{e}^{-2 \times 10^{-5} t}\right ]_{0}^{3200} \\ & =1 - \text{e}^{-2 \times 10^{-5} \times 3200} \\ & = 1- \text{e}^{-0,64} \\ & \approx 0,47 \\ \end{array}$$
   La probabilité que la première panne survienne avant la 32000$^e$ heure de fonctionnement est, arrondie au centième près, égale à 0,47.
   2. On s'intéresse à un téléviseur de type A fonctionnant chaque jour pendant 4 heures. Calculer la probabilité que la première panne d'écran ne survienne pas avant 10 ans.
   On prendra $1$ année = $365$ jours .
   $10\times 4 \times 365=14600 $ et $$\begin{array}{ll} p(X\geq 14 600) & =1 -p(X < 14 600 ) \\ &= 1-\displaystyle\int_{0}^{14 600} 2 \times 10^{-5}\text{e}^{-2 \times 10^{-5} t}\:\text{d}t\\ & = 1-\left [ -\text{e}^{-2 \times 10^{-5} t}\right ]_{0}^{14 600} \\ & =1-\left (1 - \text{e}^{-2 \times 10^{-5} \times 14 600} \right ) \\ & = \text{e}^{-0,292} \\ & \approx 0,75 \\ \end{array}$$
   La probabilité que la première panne d'écran ne survienne pas avant 10 ans est, arrondie au centième près, égale à 0,75.
   3. Calculer la probabilité que la première panne survienne après 10000 heures et avant 40000 heures de fonctionnement.
   $$\begin{array}{ll} p(10 000 X\geq 40 00)&= \displaystyle\int_{10 000}^{40 00} 2 \times 10^{-5}\text{e}^{-2 \times 10^{-5} t}\:\text{d}t\\ & = \left [ -\text{e}^{-2 \times 10^{-5} t}\right ]_{10 000}^{40 00} \\ & = -\text{e}^{-2 \times 10^{-5} \times 40 00} + \text{e}^{-2 \times 10^{-5} \times 10 00} \\ & = - \text{e}^{-0,8} + \text{e}^{-0,2} \\ & \approx 0,37 \\ \end{array}$$
   La probabilité que la première panne survienne après 10 000 heures et avant 40 000 heures de fonctionnement est, arrondie au centième près, égale à 0,37.
   4. Calculer l'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$ et en donner une interprétation.
   L'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$est $E(X) = \dfrac{1 }{\lambda}=\dfrac{1}{2 \times 10^{-5} }=\dfrac{10^5}{2}=50 000$. La durée de fonctionnement moyenne d'un téléviseur du type A est de 50000 heures.
2. La durée de fonctionnement avant la première panne d'un téléviseur de type B est modélisée par une variable aléatoire $Y$ suivant la loi exponentielle de paramètre $\lambda'$.
   Une étude statistique a permis d'évaluer $P(Y \leqslant 32000 ) = 0,8$.
   Calculer la valeur arrondie à $10^{-5}$ de $\lambda'$.

$Y$ suivant la loi exponentielle de paramètre $\lambda'$ tel que $ p(Y\leq 32 000)=0,8$ d'où : $$\begin{array}{ll} p(Y\leq 32 000)=0,8 &\iff \displaystyle\int_{0}^{32 00} \lambda'\text{e}^{-\lambda' t}\:\text{d}t =0,8\\ & \iff \left [ -\text{e}^{-\lambda' t}\right ]_{0}^{32 00} =0,8 \\ & \iff 1 -\text{e}^{-32 000 \times \lambda'} =0,8 \\ & \iff \text{e}^{-32 000 \times \lambda'} =0,2 \\ & \iff -32 000 \times \lambda' =\ln 0,2 \\ & \iff \lambda' =-\dfrac{\ln 0,2 }{3200} \\ & \iff \lambda' =\dfrac{\ln 5 }{3200} \\ & \iff \lambda' =\dfrac{\ln 5 }{3200} \\ & \iff \lambda' \approx 5 \times 10^{-5} \end{array}$$
La valeur arrondie à  $10^{-5}$ de  $\lambda'$ est $\lambda' \approx 5 \times 10^{-5} $