Baccalauréat Polynésie 11 septembre 2014 STI2D--STL spécialité SPCL - Correction Exercice 2

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Correction de l'exercice 2 (6 points)


Suites


Une entreprise informatique a réalisé en 2013 un bénéfice de 22000 €. La direction de cette entreprise se fixe pour objectif une hausse annuelle de son bénéfice de 4,5$\,\%$. Pour tout entier naturel $n$, on note $b_{n}$ le bénéfice prévu pour l'année $2013 + n$, on a donc $b_{0} = 22000$.


Partie A

  1. Calculer les bénéfices $b_{1}$ et $b_{2}$ espérés pour 2014 et 2015.
  2. $b_1=22000\times \left(1+\dfrac{4,5}{100}\right)=22990$ $b_2=22990\times \left(1+\dfrac{4,5}{100}\right)= 24024,55$
    Les bénéfices espérés pour 2014 et 2015 sont respectivement de 22990 € et 24024,55 €.
  3. Montrer que $\left(b_{n}\right)$ est une suite géométrique dont on précisera les éléments caractéristiques.
  4. $b_0=22000$ et, pour tout entier naturel $n, b_{n+1}=1,045\times b_n$
    donc $(b_n)$ est une suite géométrique de raison $1,045$ et de premier terme $22000$.
  5. Exprimer alors $b_{n}$ en fonction de $n$.
  6. $(b_n)$ est une suite géométrique de raison $1,045$ et de premier terme $22000$, $b-n=q^n\times b-0$
    alors pour tout entier $n, b_n=22000\times 1,045^n$
Partie B

On considère l'algorithme ci-dessous :$$\begin{array}{|l|}\hline N \text{ prend la valeur } 0\\ B \text{ prend la valeur }22000 \\ \text{ Tant que } B \leqslant 40000 \\ \hspace{0,5cm}N \text{ prend la valeur } N + 1\\ \hspace{0,5cm}B \text{ prend la valeur }1,045 * B\\ \text{ Fin Tant que } \\ A \text{ prend la valeur } N + 2013\\ \text{ Afficher } A\\ \hline \end{array}$$

  1. Expliquer à quoi correspondent les variables N et B.
  2. $N$ est le nombre d'années écoulées depuis 2013 et $B$ est le montant en euros du bénéfice prévu pour l'année $2013+N.$
  3. Exécuter cet algorithme et donner le dernier résultat affiché.
  4. Le résultat affiché est $2027$
  5. Expliquer à quoi correspond cette valeur.
  6. C'est à partir de 2027 que le bénéfice sera supérieur à 40000 €.
    La direction souhaite savoir à partir de quelle année le bénéfice de l'entreprise sera supérieur à 40000 €.
    1. Résoudre dans $\mathbb R$ l'inéquation suivante: \[22000 \times 1,045^x > 40000.\]
    2. Pour tout réel $x$, on a $$\begin{array}{ll} 22000 \times 1,045^x > 40000 &\iff 1,045^x > \dfrac{40000}{22 000}\\ &\iff e^{x \ln(1,045)} > \dfrac{20}{11}\\ &\iff \ln\left(e^{x \ln(1,045)} \right)> \ln\left(\dfrac{20}{11}\right)\\ &\iff x \ln(1,045) > \ln\left(\dfrac{20}{11}\right)\\ &\iff x > \dfrac{\ln\left(\dfrac{20}{11}\right)}{\ln(1,045)}\\ \end{array}$$
      L’ensemble des solutions de l’inéquation est l’intervalle $]\dfrac{\ln20−\ln11}{\ln1,045};+\infty[$.
    3. Quel lien existe-t-il entre le résultat de la question 2. de la partie B et l'ensemble des solutions de l'inéquation précédente ?
    4. L'algorithme de la question 2 permet de déterminer le rang $N$ de l'année à partir de laquelle le bénéfice de l'entreprise sera supérieur à $40000$ €. $N$ est le plus petit entier solution de l'inéquation $22000 \times 1,045^x > 40000$.
      REMARQUE : Comme $\dfrac{\ln20−\ln11}{\ln1,045}\approx 13,582$, le plus petit entier $N$ tel que $N>\dfrac{\ln20−\ln11}{\ln1,045}$ est $N=14$. On retrouve le résultat de la question 2.

 

Exercice 3
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