Baccalauréat Polynésie 11 septembre 2014 STI2D--STL spécialité SPCL - Exercice 4

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Exercice 4 4 points

Probabilités

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Partie A Loi exponentielle et radioactivité

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On modélise la durée de vie $T$ (exprimée en jours) d'un élément radioactif par une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre $\lambda$.
On rappelle que pour tout $t > 0,\: P(T \leqslant t) = \displaystyle\int_{0}^t \lambda\text{e}^{- \lambda x}\:\text{d}x$.
Le Thorium 227 a une demi-vie de 18 jours, ce qui signifie que : \[P(T \geqslant 18) = P(T \leqslant 18) = 0,5.\]

1. Montrer que pour tout $t > 0,\: P(T \leqslant t) = 1 - \text{e}^{-\lambda t}$.
2. Calculer la valeur du paramètre $\lambda$ pour le Thorium 227. On donnera le résultat arrondi à $10^{-4}$.
3. On suppose que $\lambda = 0,04$. Donner alors la durée de vie moyenne d'un atome de Thorium 227.

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Partie B Loi normale et usinage

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Une entreprise fabrique en grande quantité des pièces tubulaires destinées à l'industrie aérospatiale. Le diamètre (exprimé en centimètres) d'une de ces pièces est modélisé par une variable aléatoire $X$ suivant la loi normale d'espérance $3,65$ et d'écart type $0,004$.
Les résultats seront donnés à $10^{-3}$ près .

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1. Une pièce est décrétée conforme lorsque son diamètre en centimètres est compris entre $3,645$ et $3,655$. Calculer la probabilité qu'une pièce tubulaire de la production soit décrétée conforme.
2. Dans le cadre d'un fonctionnement correct de la chaîne de production, on admet que la proportion $p$ de pièces conformes est 79$\,\%$. On rappelle que l'intervalle de fluctuation asymptotique à 95$\,\%$ de la fréquence de pièces conformes sur un échantillon de taille $n$ est \[I = \left[p - 1,96\sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{n}}~;~p + 1,96\sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{n}}\right].\] On contrôle régulièrement la chaîne de production en prélevant des échantillons de $100$ pièces. Lors d'un contrôle, on trouve 25 pièces défectueuses. Le responsable qualité doit-il prendre la décision d'effectuer des réglages sur la chaîne de production ? Justifier la réponse.