Baccalauréat Polynésie 11 septembre 2014 STI2D--STL spécialité SPCL - Exercice 3

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Exercice 3 6 points

Fonction exponentielle et équation différentielle

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Lorsque l'on consomme de l'alcool, le taux d'alcool dans le sang varie en fonction du temps écoulé depuis l'absorption. Ce taux est appelé « alcoolémie » et est mesuré en grammes par litre (g/L). Après l'absorption de trois verres d'alcool, l'alcoolémie d'une personne donnée, en fonction du temps (exprimé en heures), est modélisée par la fonction définie sur $\mathbb R_{+}$ par : \[ f(t) = 2,5t\text{e}^{- t}.\]

Partie A

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1. Donner la valeur de l'alcoolémie de la personne considérée au bout de 2 heures.
2. Montrer que pour tout réel $t$ de l'intervalle $[0~;~+ \infty[$,  $f'(t) = 2,5(1 - t)\text{e}^{- t}$.
3. Vérifier que la fonction $f$ est solution de l'équation différentielle : \[(E) :\qquad y' + y = 2,5\text{e}^{- t}.\]
4. En remarquant que pour tout réel $t$ de l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ on a $f(t) = \dfrac{2,5t}{\text{e}^{t}}$, déterminer $\displaystyle\lim_{t \to + \infty}f(t)$ et donner une interprétation géométrique de cette limite.
5. Déterminer les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$.
6. Quelle est l'alcoolémie la plus élevée pour la personne considérée ?

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Partie B

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1. Sur une feuille de papier millimétré, tracer la courbe représentative de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$. On prendra 2 cm pour unité sur l'axe des abscisses et 10 cm pour unité sur l'axe des ordonnées.
2. En France, la législation autorise pour un conducteur une alcoolémie maximale de 0,5 g/L. Sachant que la personne a absorbé trois verres d'alcool à 12 h, à partir de quelle heure pourra-t-elle reprendre la route pour effectuer sans s'arrêter un trajet d'une durée d'une heure ? On utilisera la représentation graphique de la fonction $f$.