Baccalauréat Polynésie 11 septembre 2014 STI2D--STL spécialité SPCL - Correction Exercice 4

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Exercice 4 : 4 points


Probabilités


Partie A Loi exponentielle et radioactivité

On modélise la durée de vie $T$ (exprimée en jours) d'un élément radioactif par une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre $\lambda$.
On rappelle que pour tout $t > 0,\: P(T \leqslant t) = \displaystyle\int_{0}^t \lambda\text{e}^{- \lambda x}\:\text{d}x$.
Le Thorium 227 a une demi-vie de 18 jours, ce qui signifie que : \[P(T \geqslant 18) = P(T \leqslant 18) = 0,5.\]

  1. Montrer que pour tout $t > 0,\: P(T \leqslant t) = 1 - \text{e}^{-\lambda t}$.
  2. $$\begin{array}{ll} P(T \leqslant t)& = \displaystyle\int_{0}^t \lambda\text{e}^{- \lambda x}\:\text{d}x\\ &=\left[ -\text{e}^{- \lambda x}\right]_0^t\\ &= -\text{e}^{- \lambda t}-(-\text{e}^{0})\\ & 1 -\text{e}^{- \lambda t}\\ \end{array}$$
    pour tout $t > 0,\: P(T \leqslant t) = 1 - \text{e}^{-\lambda t}$.
  3. Calculer la valeur du paramètre $\lambda$ pour le Thorium 227. On donnera le résultat arrondi à $10^{-4}$.
  4. $$\begin{array}{ll} 1 -\text{e}^{- 18\lambda } =0,5&\iff \text{e}^{- 18\lambda } =0,5 \\ &\iff \ln\left(\text{e}^{- 18\lambda } \right)=\ln (0,5)\\ &\iff - 18\lambda= \ln (0,5)\\ &\iff \lambda = -\dfrac{\ln (0,5)}{18}\approx 0,0385 \end{array}$$
    La durée de vie du Thorium 227 suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda =0,0385$.
  5. On suppose que $\lambda = 0,04$. Donner alors la durée de vie moyenne d'un atome de Thorium 227.
  6. L'espérance d'une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre $\lambda$ est égale à $\dfrac{1}{\lambda}$.
    La durée de vie moyenne d'un atome de Thorium 227 est de $\dfrac{1}{0,04} =25$ jours.

Partie B Loi normale et usinage

Une entreprise fabrique en grande quantité des pièces tubulaires destinées à l'industrie aérospatiale. Le diamètre (exprimé en centimètres) d'une de ces pièces est modélisé par une variable aléatoire $X$ suivant la loi normale d'espérance $3,65$ et d'écart type $0,004$.
Les résultats seront donnés à $10^{-3}$ près .


  1. Une pièce est décrétée conforme lorsque son diamètre en centimètres est compris entre $3,645$ et $3,655$. Calculer la probabilité qu'une pièce tubulaire de la production soit décrétée conforme.
  2. 2ND DISTR 2NORMALFRép( \1 , \2,\3,\4)EXE
    Avec une calculatrice de type TI

    $$NormalFR\text{é}p(\1,\2,\3,\4) \approx \5$$

    $$P(\1 \leq \6 \leq \2)\approx \5 \text{ à } 10^{-\7} \text{ près.}$$

     

    La probabilité qu'une pièce tubulaire de la production soit décrétée conforme est $0,789$ (arrondie au millième près).
  3. Dans le cadre d'un fonctionnement correct de la chaîne de production, on admet que la proportion $p$ de pièces conformes est 79$\,\%$. On rappelle que l'intervalle de fluctuation asymptotique à 95$\,\%$ de la fréquence de pièces conformes sur un échantillon de taille $n$ est \[I = \left[p - 1,96\sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{n}}~;~p + 1,96\sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{n}}\right].\] On contrôle régulièrement la chaîne de production en prélevant des échantillons de $100$ pièces. Lors d'un contrôle, on trouve 25 pièces défectueuses. Le responsable qualité doit-il prendre la décision d'effectuer des réglages sur la chaîne de production ? Justifier la réponse.
  4. La proportion $p$ est égale à  $\1$. La taille  $n$  de l'échantillon considéré est égale à  $\2.$
    Comme  $ n =\2$ ,   $n \times p  $=\3  et $n\times (1-p)=\4,$ les conditions d'utilisation d'un intervalle de fluctuation asymptotique sont réunies.

    En effet on a bien : $$n \geq 30\;;\; n \times p \geq 5 \text{ et } n\times (1-p) \geq 5$$


    L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de  $95\% $  est : $$I_{\2} = \left[\1 - 1,96\sqrt{\dfrac{\1\times \5}{\2}}~;~\1 + 1,96\sqrt{\dfrac{\1\times \5}{\2}} \right]$$ 

    Soit en prenant des valeurs approchées à $10^{-3 }$ près des bornes de l'intervalle, l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95  %  de la fréquence de pièces conformes sur un échantillon de taille 100 est $I_{100}=[0,710;0,870]$.
    La fréquence observée de pièces conformes dans l'échantillon est $f=\dfrac{100-25}{100}≈0,75$
    La fréquence observée appartient à l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95  %  . Il n'est pas nécessaire d'effectuer des réglages sur la chaîne de production.
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