Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie Wallis et Futuna 28 novembre 2017 - Correction Exercice 3
Correction de l'exercice 3 (3 points)
Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.
Partie A
Proposition A :
L'aire du domaine délimité par les droites d'équations $x=0$ et $x = \ln (2)$, l'axe des abscisses et la courbe $\mathcal C$ est égale à $1$ unité d'aire.
Fausse
La fonction $f$ est positive sur l’intervalle $\left[0;\ln(2)\right]$. On veut donc calculer :
$\begin{align*}I&=\displaystyle \int_0^{\ln(2)} f(x)\text{d}x \\
&=\left[2\text{e}^x-\dfrac{1}{2}\text{e}^{2x}\right]_0^{\ln 2} \\
&=2\times 2-\dfrac{1}{2}\times 2^2-\left(2-\dfrac{1}{2}\right) \\
&=\dfrac{1}{2}\\
&\neq 1
\end{align*}$
$\quad$
Partie B
Proposition B :
Pour tout entier strictement positif $n$, l'ordonnée du point $S_n$ est $n^2$.
Proposition B vraie
La fonction $f_n$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ en tant que somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
$\begin{align*} {f_n}'(x)&=2n\text{e}^x-2\text{e}^{2x} \\
&=2\text{e}^x\left(n-\text{e}^x\right)
\end{align*}$
La fonction exponentielle est strictement positive donc ${f_n}'(x)=0 \iff n=\text{e}^x \iff x=\ln(n)$
$f\left(\ln(n)\right)=2n\times n-n^2=n^2$
$\quad$
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