Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie Wallis et Futuna 28 novembre 2017 - Exercice 4

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Exercice 4 3 points

Commun à tous les candidats

Les questions 1. et 2. de cet exercice pourront être traitées de manière indépendante.
On considère la suite des nombres complexes $\left(z_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par \[z_n = \dfrac{1 + \text{i}}{(1-\text{i})^n}.\] On se place dans le plan complexe d'origine O.

1. Pour tout entier naturel $n$, on note $A_n$ le point d'affixe $z_n$.
   1. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $\dfrac{z_{n+4}}{z_n}$ est réel.
   2. Démontrer alors que, pour tout entier naturel $n$, les points O, $A_n$ et $A_{n+4}$ sont alignés.
2. Pour quelles valeurs de $n$ le nombre $z_n$ est-il réel ?