Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie Wallis et Futuna 28 novembre 2017 - Exercice 5

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Exercice 5 5 points

Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie par $u_0 = 3$, $u_1 = 6$ et, pour tout entier naturel $n$ : \[u_{n+2} = \dfrac{5}{4}u_{n+1} - \dfrac{1}{4}u_n.\] Le but de cet exercice est d'étudier la limite éventuelle de la suite $\left(u_n\right)$.

Partie A :

On souhaite calculer les valeurs des premiers termes de la suite $\left(u_n\right)$ à l'aide d'un tableur. On a reproduit ci-dessous une partie d'une feuille de calcul, où figurent les valeurs de $u_0$ et de $u_1$. $$ \begin{array}{ | c|c|c|}\hline &A &B\\ \hline 1 & n & u_n \\ \hline 2 &0 &3\\ \hline 3 &1 &6\\ \hline 4 &2 &\\ \hline 5 &3 &\\ \hline 6 &4 &\\ \hline 7 &5 &\\ \hline \end{array} $$

1. Donner une formule qui, saisie dans la cellule B4, puis recopiée vers le bas, permet d'obtenir des valeurs de la suite $\left(u_n\right)$ dans la colonne B.
2. Recopier et compléter le tableau ci-dessus. On donnera des valeurs approchées à $10^{-3}$ près de $u_n$ pour $n$ allant de 2 à 5.
3. Que peut-on conjecturer à propos de la convergence de la suite $\left(u_n\right)$ ?

 

Partie B : Étude de la suite

On considère les suites $\left(v_n\right)$ et $\left(w_n\right)$ définies pour tout entier naturel $n$ par : \[v_n = u_{n + 1} - \dfrac{1}{4}u_n\quad \text{ et }\quad w_n = u_n - 7.\]

1. 1. Démontrer que $\left(v_n\right)$ est une suite constante.
   2. En déduire que, pour tout entier naturel $n$,  $u_{n+1} = \dfrac{1}{4}u_n + \dfrac{21}{4}$.
2. 1. En utilisant le résultat de la question   1.  b. , montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $u_n < u_{n+1} < 15$.
   2. En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
3. 1. Démontrer que $\left(w_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
   2. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $u_n = 7 - \left(\dfrac{1}{4} \right)^{n-1}$.
   3. Calculer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.