Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie Wallis et Futuna 28 novembre 2017 - Correction Exercice 5

Page 10 sur 12: Correction Exercice 5

Correction de l'exercice 5 5 points

Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie par $u_0 = 3$, $u_1 = 6$ et, pour tout entier naturel $n$ : \[u_{n+2} = \dfrac{5}{4}u_{n+1} - \dfrac{1}{4}u_n.\] Le but de cet exercice est d'étudier la limite éventuelle de la suite $\left(u_n\right)$.

Partie A :

On souhaite calculer les valeurs des premiers termes de la suite $\left(u_n\right)$ à l'aide d'un tableur. On a reproduit ci-dessous une partie d'une feuille de calcul, où figurent les valeurs de $u_0$ et de $u_1$. $$ \begin{array}{ | c|c|c|}\hline &A &B\\ \hline 1 & n & u_n \\ \hline 2 &0 &3\\ \hline 3 &1 &6\\ \hline 4 &2 &\\ \hline 5 &3 &\\ \hline 6 &4 &\\ \hline 7 &5 &\\ \hline \end{array} $$

1. Donner une formule qui, saisie dans la cellule B4, puis recopiée vers le bas, permet d'obtenir des valeurs de la suite $\left(u_n\right)$ dans la colonne B.
On peut saisir $=5/4*B3-B2/4$
$\quad$
2. Recopier et compléter le tableau ci-dessus. On donnera des valeurs approchées à $10^{-3}$ près de $u_n$ pour $n$ allant de 2 à 5.
On obtient le tableau suivant :
$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
&\text{A}&\text{B}\\
\hline
1&n&u_n\\
\hline
2&0&3\\
\hline
3&1&6\\
\hline
4&2&\boldsymbol{6,75}\\
\hline
5&3&\boldsymbol{6,938}\\
\hline
6&4&\boldsymbol{6,984}\\
\hline
7&5&\boldsymbol{6,996}\\
\hline
\end{array}$

3. Que peut-on conjecturer à propos de la convergence de la suite $\left(u_n\right)$ ?
Il semblerait donc que la suite $\left(u_n\right)$ converge vers $7$.
$\quad$

 

Partie B : Étude de la suite

On considère les suites $\left(v_n\right)$ et $\left(w_n\right)$ définies pour tout entier naturel $n$ par : \[v_n = u_{n + 1} - \dfrac{1}{4}u_n\quad \text{ et }\quad w_n = u_n - 7.\]

1. 1. Démontrer que $\left(v_n\right)$ est une suite constante.
   Pour tout entier naturel $n$ on a :
   $\begin{align*} v_{n+1}&=u_{n+2}-\dfrac{1}{4}u_{n+1}\\
   &=\dfrac{5}{4}u_{n+1}-\dfrac{1}{4}u_n-\dfrac{1}{4}u_{n+1}\\
   &=u_{n+1}-\dfrac{1}{4}u_n\\
   &=v_n
   \end{align*}$
   La suite $\left(v_n\right)$ est donc constante et $v_0=u_1-\dfrac{u_0}{4}=\dfrac{21}{4}$.
   $\quad$
   
   2. En déduire que, pour tout entier naturel $n$,  $u_{n+1} = \dfrac{1}{4}u_n + \dfrac{21}{4}$.
   Ainsi, pour tout entier naturel $n$ on a :
   $\dfrac{21}{4}=u_{n+1}-\dfrac{1}{4}u_n \iff u_{n+1}=\dfrac{1}{4}u_n+\dfrac{21}{4}$.
   $\quad$
2. 1. En utilisant le résultat de la question   1.  b. , montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $u_n < u_{n+1} < 15$.
   Initialisation : Si $n=0$. On a $u_0=3$ et $u_1=6$ donc $u_0<u_1<15$
   La propriété est vraie au rang $0$
   $\quad$
   Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$ : $u_n<u_{n+1}<15$
   Montrons qu’elle est encore vraie au rang $n+1$, c’est-à-dire que $u_{n+1}<u_{n+2}<15$
   $\begin{align*} u_n<u_{n+1}<15 &\iff \dfrac{1}{4}u_n<\dfrac{1}{4}u_{n+1}<\dfrac{15}{4} \\
   &\iff  \dfrac{1}{4}u_n+\dfrac{21}{4}<\dfrac{1}{4}u_{n+1}+\dfrac{21}{4}<\dfrac{15}{4}+\dfrac{21}{4} \\
   &\iff u_{n+1}<u_{n+2}<9<15
   \end{align*}$
   La propriété est donc vraie au rang $n+1$
   $\quad$
   Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
   Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $u_n<u_{n+1}<15$.
   $\quad$
   
   2. En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
   La suite $\left(u_n\right)$ est croissante et majorée par $15$; elle est donc convergente.
   $\quad$
3. 1. Démontrer que $\left(w_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
   Pour tout entier naturel $n$ on a :
   $\begin{align*} w_n&=u_{n+1}-7 \\
   &=\dfrac{1}{4}u_n+\dfrac{21}{4}-7\\
   &=\dfrac{1}{4}u_n-\dfrac{7}{4} \\
   &=\dfrac{1}{4}\left(u_n-7\right) \\
   &=\dfrac{1}{4}w_n
   \end{align*}$
   La suite $\left(w_n\right)$ est donc géométrique de raison $\dfrac{1}{4}$ et de premier terme $w_0=3-7=-4$
   $\quad$
   
   2. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $u_n = 7 - \left(\dfrac{1}{4} \right)^{n-1}$.
   Ainsi pour tout entier naturel $n$ on a $w_n=-4\times \left(\dfrac{1}{4}\right)^n=-\left(\dfrac{1}{4}\right)^{n-1}$
   Or $w_n=u_n-7$ donc $u_n=w_n+7=7-\left(\dfrac{1}{4}\right)^{n-1}$
   $\quad$
   
   3. Calculer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
   $-1<\dfrac{1}{4}<1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} \left(\dfrac{1}{4}\right)^{n-1}=0$.
   Par conséquent $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=7$.