Baccalauréat STI 2D/STL spécialité SPCL Métropole 11 septembre 2014 - Exercice 2
Exercice 2 5 points
Une équipe aérospatiale se propose d'envoyer un satellite de $10$ tonnes en orbite autour de la Terre par l'intermédiaire d'une fusée à un seul étage. Cette fusée a une masse à vide, c'est-à-dire sans carburant ni satellite, de $40$ tonnes. L'éjection des gaz permet à la fusée de décoller et de s'élever dans les airs jusqu'à la consommation totale du propergol, carburant contenu dans ses réservoirs. La vitesse d'éjection des gaz est $V_{\text{e}} = 3200 $ m.s$^{-1}$. La vitesse finale de la fusée vitesse atteinte lorsque les réservoirs sont vides, varie en fonction de la masse de propergol contenue au départ dans les réservoirs. Elle doit être de $8000$ m.s$^{-1}$ pour permettre la mise en orbite souhaitée. Le but de l'exercice est de déterminer la masse de propergol à mettre dans les réservoirs pour permettre cette mise en orbite du satellite. On note $x$ la masse, en tonnes, de propergol contenu au décollage dans les réservoirs de la fusée. La masse $x$ est comprise entre 100 et 900 tonnes. La masse totale de la fusée est alors $(x + 50)$ tonnes. Il est établi que la vitesse finale de la fusée, $f(x)$, exprimée en m· s$^{-1}$, est donnée par \[f(x) = V_{\text{e}} \times [\ln(x + 50) - \ln 50]\] où $x$ est un réel de l'intervalle [100 ; 900].
- Montrer que, pour tout réel $x$ de l'intervalle [100 ; 900], $f(x) = 3200 \times \ln (0,02x + 1)$. On pourra choisir l'une ou l'autre des expressions de $f(x)$ pour répondre à chacune des questions suivantes.
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- Si les réservoirs contiennent au décollage 100 tonnes de propergol, quelle sera la vitesse finale de la fusée ?
- Avec 400 tonnes de propergol au décollage la mise en orbite sera-t-elle possible ?
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- Calculer la fonction dérivée $f'$ de la fonction $f$.
- En déduire le sens de variation de la fonction $f$.
- Déterminer la masse de propergol à mettre dans les réservoirs pour permettre la mise en orbite souhaitée.
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