Baccalauréat STI 2D/STL spécialité SPCL Métropole 11 septembre 2014 - Correction Exercice 3

Page 6 sur 8: Correction Exercice 3

Correction de l'exercice 3 (5 points)

Suites

Chloé, âgée de 15 ans au 1er janvier 2014, réside dans une agglomération française. Pour anticiper le financement de son permis de conduire, elle décide de placer sur un produit d'épargne ses $600$ euros d'économies à partir du 1er janvier 2014.

Information 1 : conditions de souscription du livret jeune

• Montant maximum de placement: 1600 euros
• Taux d'intérêt annuel de 2,75$\,\%$
• Avoir entre 12 et 25 ans
• Montant minimum à l'ouverture : 10 euros
• Résider en France

Information 2 : coût moyen du permis de conduire

• La loi impose un minimum de $20$ heures de conduite avant de se présenter au permis.
• Une enquête de la CLCV (Consommation, Logement et Cadre de Vie) publiée en août 2013 et menée auprès de $447$ auto-écoles souligne que ce forfait de $20$ heures est facturé du simple au double selon les régions.
• Par ailleurs, même si le minimum imposé par la loi est de vingt heures de conduite, il en faut plutôt trente en moyenne.
• Ainsi, en comptant les frais de dossier, il est préférable de prévoir un budget de 1500 euros.

Partie A

1. Expliquer pourquoi Chloé remplit les conditions permettant de souscrire au livret jeune.
Chloé, âgée de 15 ans au 1er janvier 2014, réside dans une agglomération française et verse 600 euros. Chloé remplit les conditions permettant de souscrire au livret jeune.
2. Aura-t-elle une somme suffisante disponible au 1er janvier 2017 pour passer son permis si elle choisit de souscrire au livret jeune ?
Soit $C_n$ le capital disponible le 1er janvier de l'année $(2014+n)$.
Le taux d'intérêt annuel étant de $2,75\ %$, on a :
$C_{n+1}=C_n\times (1+\dfrac{2,75}{100})=1,0275\times C_n$
Ainsi, $(C_n)$ est une suite géométrique de raison $1,0275$ et de premier terme $C_0=600$
donc pour tout entier $n, C_n=600\times 1,0275^n$
Le capital disponible au 1er janvier 2017 est : $$C_3=600\times1,0275^3\approx 650,87$$
Au 1er janvier 2017, Chloé n'aura pas une somme suffisante pour passer son permis.

Partie B

Chloé aura besoin de 1500 euros pour financer son permis. Ses parents lui conseillent de verser chaque mois sur le livret la somme supplémentaire de 25 euros, à partir du 1er février 2014. Ils lui expliquent que le taux annuel du livret jeune correspond à un taux mensuel de 0,226$\,\%$.

1. Ses parents lui présentent un extrait d'une page de tableur qui simule l'évolution d'épargne : $$ \begin{array}{|c|c|} \hline &A& B\\ \hline 1 &01/01/2014 &600,00 \text{€}\\ \hline 2 &01/02/2014 &626,36 \text{€}\\ \hline 3 &01/03/2014 &652,77 \text{€}\\ \hline 4 &01/04/2014 &679,25 \text{€}\\ \hline 5 &01/05/2014 &705,78 \text{€}\\ \hline 6 &01/06/2014 &732,38 \text{€}\\ \hline 7 &... &...\\ \hline \end{array}$$
   1. Justifier que, dans la feuille de calcul ci-dessus, la formule à saisir dans la cellule $B2$ est 
      $=  1,00226 \times \text{B}1 + 25$
   Le coefficient multiplicateur associé à un pourcentage d'évolution de $0,226 \%$ est $1+\dfrac{0,226}{100}=1,00226$.
   
   La somme disponible chaque mois est obtenue en ajoutant 25 au produit de la somme disponible du mois précédent par 1,00226 donc la formule à saisir dans la cellule $B2$ est : $$=1,00226\times B1+25.$$
   2. Déterminer la somme qui serait disponible sur le livret au 1er juillet 2014.
   $732,38\times 1,00226 +25 \approx 759,04.$
   Au 1er juillet 2014, elle disposerait de 759,04 euros.
2. Chloé veut déterminer au bout de combien de mois elle aurait l'argent nécessaire pour financer son permis en suivant le conseil de ses parents. Elle décide de noter $u_{n}$ la somme, en euros, disponible le $n$-ième mois après l'ouverture du livret. Ainsi, $u_{0}$ vaut 600 euros.
   1. Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_{n}$.
   Pour tout entier naturel $n, u_{n+1}=1,00226\times u_n+25.$
   2. Chloé décide d'écrire l'algorithme suivant : Trois lignes de l'algorithme comportent des pointillés. Recopier ces lignes et les compléter pour que Chloé puisse déterminer le nombre de mois cherché.
   $$\begin{array}{|ll|}\hline\text{Variables}\\ \hspace{0,3cm}n :\text{ un nombre entier naturel}\\ \hspace{0,3cm}u : \text{ un nombre réel }\\\text{Initialisation}\\ \hspace{0,3cm}\text{ Affecter à } n \text{ la valeur } 0\\ \hspace{0,3cm}\text{ Affecter à } u \text{ la valeur } 600\\\text{Traitement}\\ \hspace{0,3cm} \text{ Tant que } u < 1500 \\ \hspace{0,6cm}\text{ Affecter à } n \text{ la valeur } n + 1 \\ \hspace{0,6cm}\text{ Affecter à } u \text{ la valeur }1,00226\times u+25\\ \hspace{0,3cm}\text{ Fin Tant que }\\\text{Sortie}\\ \hspace{0,3cm}\text{ Afficher }n\\ \hline \end{array} $$
   3. Au bout de combien de mois Chloé aura-t-elle l'argent nécessaire pour financer son permis si elle suit les conseils de ses parents ?
   On programme l'algorithme sur la calculatrice, on obtient en sortie 33.
   Chloé aura l'argent nécessaire pour financer son permis au bout de 33 mois.