Baccalauréat STI 2D/STL spécialité SPCL Métropole 11 septembre 2014 - Correction Exercice 2

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Correction de l'exercice 2 (5 points)

Fonction ln

Une équipe aérospatiale se propose d'envoyer un satellite de $10$ tonnes en orbite autour de la Terre par l'intermédiaire d'une fusée à un seul étage. Cette fusée a une masse à vide, c'est-à-dire sans carburant ni satellite, de $40$ tonnes. L'éjection des gaz permet à la fusée de décoller et de s'élever dans les airs jusqu'à la consommation totale du propergol, carburant contenu dans ses réservoirs. La vitesse d'éjection des gaz est $V_{\text{e}} = 3200 $ m.s$^{-1}$. La vitesse finale de la fusée vitesse atteinte lorsque les réservoirs sont vides, varie en fonction de la masse de propergol contenue au départ dans les réservoirs. Elle doit être de $8000$ m.s$^{-1}$ pour permettre la mise en orbite souhaitée. Le but de l'exercice est de déterminer la masse de propergol à mettre dans les réservoirs pour permettre cette mise en orbite du satellite. On note $x$ la masse, en tonnes, de propergol contenu au décollage dans les réservoirs de la fusée. La masse $x$ est comprise entre 100 et 900 tonnes. La masse totale de la fusée est alors $(x + 50)$ tonnes. Il est établi que la vitesse finale de la fusée, $f(x)$, exprimée en m· s$^{-1}$, est donnée par \[f(x) = V_{\text{e}} \times [\ln(x + 50) - \ln 50]\] où $x$ est un réel de l'intervalle [100 ; 900].

1. Montrer que, pour tout réel $x$ de l'intervalle [100 ; 900], $f(x) = 3200 \times \ln (0,02x + 1)$. On pourra choisir l'une ou l'autre des expressions de $f(x)$ pour répondre à chacune des questions suivantes.
$f(x)=V_e\times \left[\ln(x+50)−\ln50\right]$ avec $Ve=3200m.s^{-1}$ d'où : $$\begin{array}{ll} f(x)&= 3200\times \left[\ln(x+50)−\ln50\right]\\ &=3200\times \ln\left(\dfrac{x+50}{50}\right)\\ & =3200\times \ln(0,02x+1) \end{array}$$
$f$ est la fonction définie pour tout réel $x$ de l'intervalle $[100;900]$ par $f(x)=3200\times \ln(0,02x+1).$
2. 1. Si les réservoirs contiennent au décollage 100 tonnes de propergol, quelle sera la vitesse finale de la fusée ?
   $f(100)=3200\times\ln 3\approx 3515,6$
   Avec 100 tonnes de propergol au décollage, la vitesse finale de la fusée sera d'environ $3516m.s^{-1}.$
   2. Avec 400 tonnes de propergol au décollage la mise en orbite sera-t-elle possible ?
   $f(400)=3200\times \ln9\approx 7031,1$
   Avec 400 tonnes de propergol au décollage, la vitesse finale de la fusée ne permettra pas la mise en orbite du satellite.
3. 1. Calculer la fonction dérivée $f'$ de la fonction $f$.
   $$\begin{array}{ll} f’(x)&= 3200\times \dfrac{0,02}{0,02x+1}\\ &\dfrac{64}{0,02x+1}\\ \end{array}$$
   $f’$ est la fonction définie pour tout réel $x$ de l'intervalle $[100;900]$ par $f’(x)=\dfrac{64}{0,02x+1}.$
   2. En déduire le sens de variation de la fonction $f$.
   Pour tout réel $x$ de l'intervalle $[100;900]$, $0,02x+1>0 $ donc $f’(x)>0$.
   La dérivée $f’$ est positive sur l'intervalle $[100;900]$ donc la fonction $f $ est croissante.
4. Déterminer la masse de propergol à mettre dans les réservoirs pour permettre la mise en orbite souhaitée.
$$\begin{array}{ll} 3200\times \ln(0,02x+1)=8000&\iff \ln(0,02x+1)=2,5\\ &\iff 0,02x+1=e^{2,5}\\ &\iff 0,02x=e^{2,5}-1\\ &\iff x=\dfrac{e^{2,5}-1}{0,02}\\ &\iff x=50\left(e^{2,5}-1\right)\\ \end{array}$$ Comme $50\left(e^{2,5}-1\right)\approx 559,1$ et que la fonction $f$ est croissante :
$560$ tonnes de de propergol sont nécessaires pour permettre la mise en orbite du satellite.