Baccalauréat S Asie 17 juin 2015 - Spécialité

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Spécialité 5 points

Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

On dit qu'un entier naturel non nul $N$ est un nombre triangulaire s'il existe un entier naturel $n$ tel que : $N = 1+2+ \ldots + n$. Par exemple, 10 est un nombre triangulaire car $10 = 1 + 2 + 3 + 4$. Le but de ce problème est de déterminer des nombres triangulaires qui sont les carrés d'un entier.
On rappelle que, pour tout entier naturel non nul $n$, on a : \[ 1 + 2 + \ldots + n = \dfrac{n(n + 1)}{2}.\]

Partie A : nombres triangulaires et carrés d'entiers

1. Montrer que $36$ est un nombre triangulaire, et qu'il est aussi le carré d'un entier.
2. 1. Montrer que le nombre $1 + 2 + \ldots + n$ est le carré d'un entier si et seulement s'il existe un entier naturel $p$ tel que : $n^2 + n - 2 p^2 = 0$.
   2. En déduire que le nombre $1 + 2 + \ldots + n$ est le carré d'un entier si et seulement s'il existe un entier naturel $p$ tel que : $(2n + 1)^2 - 8 p^2 = 1$.

Partie B : étude de l'équation diophantienne associée

On considère (E) l'équation diophantienne \[x^2 - 8 y^2 = 1,\] où $x$ et $y$ désignent deux entiers relatifs.

1. Donner deux couples d'entiers naturels inférieurs à 10 qui sont solution de (E).
2. Démontrer que, si un couple d'entiers relatifs non nuls $(x~;~y)$ est solution de (E), alors les entiers relatifs $x$ et $y$ sont premiers entre eux.

Partie C : lien avec le calcul matriciel

Soit $x$ et $y$ deux entiers relatifs. On considère la matrice $A = \begin{pmatrix}3&8\\1&3\end{pmatrix}$. On définit les entiers relatifs $x'$ et $y'$ par l'égalité : $\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} = A\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$.

1. Exprimer $x'$ et $y'$ en fonction de $x$ et de $y$.
2. Déterminer la matrice $A^{-1}$, puis exprimer $x$ et $y$ en fonction de $x'$ et $y'$.
3. Démontrer que $(x~;~y)$ est solution de (E) si et seulement si $(x'~;~y')$ est solution de (E).
4. On considère les suites $\left(x_n\right)$ et $\left(y_n\right)$ définies par $x_0 = 3$, $y_0 = 1$ et, pour tout entier naturel $n$, $\begin{pmatrix}x_{n+1}\\y_{n+1}\end{pmatrix} = A\begin{pmatrix}x_n\\y_n\end{pmatrix}$. On admet que, ainsi définis, les nombres $x_n$ et $y_n$ sont des entiers naturels pour toute valeur de l'entier $n$. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, le couple $\left(x_n~;~y_n\right)$ est solution de (E).

Partie D : retour au problème initial

À l'aide des parties précédentes, déterminer un nombre triangulaire supérieur à 2015 qui est le carré d'un entier.