Baccalauréat S Asie 17 juin 2015 - Correction Spécialité

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Correction de l'exercice de Spécialité 5 points

Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

On dit qu'un entier naturel non nul $N$ est un nombre triangulaire s'il existe un entier naturel $n$ tel que : $N = 1+2+ \ldots + n$. Par exemple, 10 est un nombre triangulaire car $10 = 1 + 2 + 3 + 4$. Le but de ce problème est de déterminer des nombres triangulaires qui sont les carrés d'un entier.
On rappelle que, pour tout entier naturel non nul $n$, on a : \[ 1 + 2 + \ldots + n = \dfrac{n(n + 1)}{2}.\]

Partie A : nombres triangulaires et carrés d'entiers

1. Montrer que $36$ est un nombre triangulaire, et qu'il est aussi le carré d'un entier.
$36 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 +6 + 7 + 8$
Donc $36$ est un nombre triangulaire.
De plus $36 = 6^2$ c’est également le carré d’un entier.
$36$ est un nombre triangulaire, et est aussi le carré d'un entier.


2. 1. Montrer que le nombre $1 + 2 + \ldots + n$ est le carré d'un entier si et seulement s'il existe un entier naturel $p$ tel que : $n^2 + n - 2 p^2 = 0$.
   $1 + 2 + \ldots + n = \dfrac{n(n+1)}{2}$.
   Par conséquent $1 + 2 + \ldots + n$ est le carré d’un entier si, et seulement s’il existe un entier naturel $p$ tel que :
   $\dfrac{n(n+1)}{2} = p^2 \iff n(n+1) = 2p^2 \iff n^2 + n – 2p^2 = 0$.
   
   2. En déduire que le nombre $1 + 2 + \ldots + n$ est le carré d'un entier si et seulement s'il existe un entier naturel $p$ tel que : $(2n + 1)^2 - 8 p^2 = 1$.
   $$\begin{array}{rl} n^2+n-2p^2 = 0 & \iff 4\left(n^2 + n – 2p^2\right) = 0\\ & \iff 4n^2 + 4n – 8p^2 = 0\\ & \iff 4n^2 + 4n + 1 – 1 – 8p^2 = 0\\ & \iff (2n + 1)^2 – 1 – 8p^2 = 0\\ & \iff (2n+1)^2 – 8p^2 = 1 \end{array}$$
   
   Donc le nombre $1 + 2 +\ldots + n$ est le carré d’un entier si, et seulement s’il existe un entier naturel $p$ tel que $(2n+1)^2 – 8p^2 = 1$.
   
   
   

Partie B : étude de l'équation diophantienne associée

On considère (E) l'équation diophantienne \[x^2 - 8 y^2 = 1,\] où $x$ et $y$ désignent deux entiers relatifs.

1. Donner deux couples d'entiers naturels inférieurs à 10 qui sont solution de (E).
$3^2 – 8\times 1^2 = 9 – 8 = 1$. Le couple $(3;1)$ est donc solution de $(E)$.
$1^2 – 8 \times 0^2 = 1$. Le couple $(1;0)$ est donc solution de $(E)$.

2. Démontrer que, si un couple d'entiers relatifs non nuls $(x~;~y)$ est solution de (E), alors les entiers relatifs $x$ et $y$ sont premiers entre eux.
Soit $(x;y)$ un couple de solution de $(E)$ alors
$x^2 – 8y^2 = 1$.
D’après le théorème de Bezout, les nombres $x^2$ et $y^2$ sont donc premiers entre eux.
Supposons que $a$ soit un diviseur commun à $x$ et $y$.
Alors $a$ divise également $x\times x = x^2$ et $y \times y = y^2$.
Or ces deux nombres sont premiers entre eux.
Par conséquent $x$ et $y$ le sont également.

Partie C : lien avec le calcul matriciel

Soit $x$ et $y$ deux entiers relatifs. On considère la matrice $A = \begin{pmatrix}3&8\\1&3\end{pmatrix}$. On définit les entiers relatifs $x'$ et $y'$ par l'égalité : $\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} = A\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$.

1. Exprimer $x'$ et $y'$ en fonction de $x$ et de $y$.
$\quad$
$\begin{pmatrix} x’ \\y’ \end{pmatrix} = A \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3x + 8y \\x+ 3y \end{pmatrix}$
Donc $x’= 3x + 8y$ et $y’ = x + 3y$.

2. Déterminer la matrice $A^{-1}$, puis exprimer $x$ et $y$ en fonction de $x'$ et $y'$.
$A^{-1} = \dfrac{1}{9 – 8} \begin{pmatrix} 3 &-8 \\-1& 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 &-8 \\-1& 3\end{pmatrix}$.
$\quad$
On a ainsi $\begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix} = A^{-1} \begin{pmatrix} x’ \\y’ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3x’ – 8y’ \\-x’+ 3y’ \end{pmatrix}$
Donc $x= 3x’ – 8y’$ et $y = -x’ + 3y$.
3. Démontrer que $(x~;~y)$ est solution de (E) si et seulement si $(x'~;~y')$ est solution de (E).
Supposons que $(x;y)$ soit solution de $(E)$ alors :
$$\begin{array}{rl} x’^2 – 8y’^2 &= (3x+8y)^2 – 8(x+3y)^2\\ &= 9x^2 +48xy + 64y^2 – 8x^2 -48xy -72y^2\\ &= x^2 – 8y^2\\ & = 1
\end{array}$$
Ainsi $(x';y’)$ est également solution de $(E)$.
$\quad$
Réciproquement, supposons que $(x';y’)$ soit solution de $(E)$ alors :
$$\begin{array}{rl} x^2-8y^2 & = (3x’-8y’)^2 – 8(-x’+3y’)^2\\ & = 9x’^2 – 48x’y’ + 64y’^2 – 8x’^2 + 48x’y’ – 72y’^2\\ &= x’^2 – 8y’^2\\ &= 1
\end{array}$$
Ainsi $(x;y)$ est également solution de $(E)$.

4. On considère les suites $\left(x_n\right)$ et $\left(y_n\right)$ définies par $x_0 = 3$, $y_0 = 1$ et, pour tout entier naturel $n$, $\begin{pmatrix}x_{n+1}\\y_{n+1}\end{pmatrix} = A\begin{pmatrix}x_n\\y_n\end{pmatrix}$. On admet que, ainsi définis, les nombres $x_n$ et $y_n$ sont des entiers naturels pour toute valeur de l'entier $n$. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, le couple $\left(x_n~;~y_n\right)$ est solution de (E).
Initialisation :
si $n=0$ alors $x_0=3$ et $y_0 = 1$
D’après la question B.1 le couple $(3;1)$ est solution de l’équation $(E)$.
Ainsi la propriété est vraie au rang $0$.
$\quad$
Hérédité :
Supposons la propriété vraie au rang $n$: $(x_n;y_n)$ est solution de $(E)$.
Alors d’après la question C.3 le couple $(x';y’)$ défini par $\begin{pmatrix} x’ \\y’ \end{pmatrix} = A \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}$ est également solution de $(E)$.
Donc $(x_{n+1};y_{n+1})$ est solution de $(E)$.
La propriété est vraie au rang $n+1$.
$\quad$
Conclusion :
La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, le couple $(x_n;y_n)$ est solution de $(E)$.

Partie D : retour au problème initial

$N = 1 + 2 + \ldots + n$ est un nombre triangulaire supérieur à $2~015$ et également le carré d’un entier alors il vérifie $N \ge 2~015$ et $(2n +1)^2 – 8p^2 = 1$.
Si on prend $n \geq 2~015$ alors la condition $N \ge  2015$ est évidemment vérifiée.
Par conséquent $2n+1 \ge 4031$.
On utilise la suite de couple $(x_n;y_n)$ définie dans la partie précédente. On cherche un couple tel que $x_n \geq 4031$.

On obtient les couples suivants :

$(17;6)$
$(99;35)$
$(577;204)$
$(3~363;1~189)$
$(19~601;6~930)$

Ainsi $2n + 1 = 19~601$ soit $n= 9~800$.

On a alors $N = \dfrac{n(n+1)}{2} = 48~0824~900$ est un nombre triangulaire. De plus $N$ est le carré de $6~930$.
Ce n’est, cependant, pas le plus petit nombre cherché.