Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie 19 novembre 2015 - Correction Exercice 3

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Correction de l'exercice 3 (5 points)

Commun à tous les candidats

Soient $x,\:y$ et $z$ trois nombres réels. On considère les implications $\left(P_1\right)$ et $\left(P_2\right)$ suivantes : \[\left(P_1\right)\qquad (x + y + z = 1) \Rightarrow \left(x^2 + y^2 + z^2 \geqslant \dfrac{1}{3} \right)\] \[\left(P_2\right) \qquad \left(x^2 + y^2 + z^2 \geqslant \dfrac{1}{3} \right) \Rightarrow (x + y + z = 1)\]

Partie A

 

Prenons par exemple le triplet $(-1;-1;-1)$ on a alors $(-1)^2+(-1)^2+(-1)^2 = 3 \ge \dfrac{1}{3}$ et pourtant $-1-1-1=-3 \neq 1$.
Par conséquent $\left(P_2\right)$ est fausse.

Partie B

Dans l'espace, on considère le cube $ABCDEFGH$, représenté ci-dessous, et on définit le repère orthonormé $\left(A~;~ \vec{AB},~ \vec{AD},~ \vec{AE}\right)$.

 

1. 1. Vérifier que le plan d'équation $x + y + z = 1$ est le plan ($BDE$).
   On a $B(1;0;0)$, $D(0;1;0)$ et $E(0;0;1)$.
   Les trois points ne sont pas alignés et définissent bien un plan. Regardons si les coordonnées de ces points vérifient l’équation $x+y+z=1$.
   $1+0+0=1$, $0+1+0=1$ et $0+0+1 = 1$.
   Par conséquent une équation du plan $(BDE)$ est $x+y+z=1$.
   $\quad$
   
   2. Montrer que la droite ($AG$) est orthogonale au plan ($BDE$).
   On a $A(0;0;0)$ et $G(1;1;1)$. Ainsi $\overrightarrow{AG}(1;1;1)$.
   De plus $\overrightarrow{BD}(-1;1;0)$ et $\overrightarrow{BE}(-1;0;1)$.
   Or $\overrightarrow{BD}.\overrightarrow{AG} = -1+1+0 = 0$ et $\overrightarrow{BE}.\overrightarrow{AG} = -1+0+1 = 0$
   Ainsi le vecteur $\overrightarrow{AG}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(BDE)$. Il est par conséquent normal au plan.
   $\quad$
   
   3. Montrer que l'intersection de la droite ($AG$) avec le plan ($BDE$) est le point $K$ de coordonnées $\left(\frac{1}{3}~;~\frac{1}{3}~;~\frac{1}{3}\right)$.
   Une représentation paramétrique de la droite $(AG)$ est $\begin{cases}x=t\\y=t \qquad t\in \mathbb R \\z=t\end{cases}$.
   Le point $K$ appartient à la droite $(AG)$ et au plan $(BDE)$. Ses coordonnées vérifient donc l’équation du plan et celles de la représentation paramétrique.
   Par conséquent $t+t+t=1$ et $t=\dfrac{1}{3}$.
   Les coordonnées de $K$ sont donc $\left(\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3}\right)$.
   $\quad$
2. Le triangle $BDE$ est-il équilatéral?
Les segments $[BE]$, $[BD]$ et $[ED]$ sont des diagonales de carrés de côté $1$. Ils ont donc la même longueur.
Le triangle $BDE$ est par conséquent équilatéral.
$\quad$
3. Soit $M$ un point de l'espace.
   1. Démontrer que si $M$ appartient au plan ($BDE$), alors $AM^2 = AK^2 + MK^2$.
   Si $M$ est un point du plan $(BDE)$ différent de $K$.
   La droite $(AK)$ est dirigée par le vecteur normal au plan $(BDE)$. Elle est donc orthogonale à toutes les droites du plan $(BDE)$, en particulier à la droite $(KM)$.
   Le triangle $AKM$ est donc rectangle en $K$ et d’après le théorème de Pythagore, on a $AM^2=AK^2+MK^2$.
   $\quad$
   Si $M=K$ alors $AM=AK$ et $MK=KK=0$.
   On a donc toujours $AM^2=AK^2+MK^2$.
   $\quad$
   
   2. En déduire que si $M$ appartient au plan ($BDE$), alors $AM^2 \geqslant AK^2$.
   $MK^2 \ge 0$ donc, d’après la question précédente, $AM^2 \ge AK^2$.
   $\quad$
   
   3. Soient $x,\:y$ et $z$ des réels quelconques. En appliquant le résultat de la question précédente au point $M$ de coordonnées $(x~;~y~;~z)$, montrer que l'implication $\left(P_1\right)$ est vraie.
   Soit $M(x;y;z)$ un point du plan $(BDE)$ alors $x+y+z=1$.
   $AM^2=x^2+y^2+z^2$ et $AK^2=\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{9}=\dfrac{1}{3}$
   D’après la question précédente on obtient donc :$x^2+y^2+z^2 \ge \dfrac{1}{3}$.
   Par conséquent $\left(P_1\right)$ est vraie.