Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie 19 novembre 2015 - Correction Exercice 4

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Correction de l'exercice 4 5 points

Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

On considère deux suites de nombres réels $\left(d_n\right)$ et $\left(a_n\right)$ définies par $d_0 = 300$, $a_0 = 450$ et, pour tout entier naturel $n \geqslant 0$ $$\begin{array}{l c l} d_{n+1} &=&\dfrac{1}{2}d_n + 100\\ a_{n+1} &=&\dfrac{1}{2}d_n + \dfrac{1}{2}a_n + 70 \end{array}$$

1. Calculer $d_1$ et $a_1$.
$d_1=\dfrac{1}{2}d_0+100 = 150 + 100 = 250$
$a_1=\dfrac{1}{2}d_0+\dfrac{1}{2}a_0+70 = 150 + 225 + 70 = 445$
$\quad$
2. On souhaite écrire un algorithme qui permet d'afficher en sortie les valeurs de $d_n$ et $a_n$ pour une valeur entière de $n$ saisie par l'utilisateur. L'algorithme suivant est proposé : $$\begin{array} {|l X|}\hline \text{Variables} :& n \text{ et } k \text{sont des entiers naturels}\\ &D \text{ et } A \text{sont des réels }\\ &\\ \text{Initialisation} :& D \text{prend la valeur } 300\\ &A \text{prend la valeur } 450\\ &\text{Saisir la valeur de } n\\ &\\ \text{Traitement} :& \text{Pour } k \text{variant de 1 à } n\\ &\hspace{0.8cm}D \text{ prend la valeur } \dfrac{D}{2} + 100 \\ &\hspace{0.8cm}A \text{ prend la valeur } \dfrac{A}{2} + \dfrac{D}{2} + 70\\ &\text{Fin pour }\\ &\\ \text{Sortie} :& \text{ Afficher } D\\ &\text{ Afficher } A\\ \hline \end{array} $$
   1. Quels nombres obtient-on en sortie de l'algorithme pour $n = 1$ ? Ces résultats sont-ils cohérents avec ceux obtenus à la question 1.?
   Si $n=1$ on obtient alors $D=250$ et $A=420$ car la variable $D$ a été modifiée (et ne vaut plus $300$) quand on calcule la valeur de $A$.
   $\quad$
   Ce n’est pas cohérent avec la réponse trouvée à la question précédente.
   $\quad$
   
   2. Expliquer comment corriger cet algorithme pour qu'il affiche les résultats souhaités.
   Pour corriger cet algorithme, il faut :
   $\quad$ – Créer une nouvelle variable $T$ réelle;
   $\quad$ – Dans la boucle « Pour » avant l’instruction « $D$ prend … » écrire « $T$ prend la valeur $D$ »;
   $\quad$ – Remplacer l’instruction « $A$ prend … » par « $A$ prend la valeur $\dfrac{A}{2}+\dfrac{T}{2}+70$ ».
   $\quad$
3. 1. Pour tout entier naturel $n$, on pose $e_n = d_n - 200$. Montrer que la suite $\left(e_n\right)$ est géométrique.
   $\begin{align*} e_{n+1} &=d_{n+1}-200 \\\\
   &=\dfrac{d_n}{2}+100-200\\\\
   &=\dfrac{d_n}{2}-100\\\\
   &=\dfrac{d_n-200}{2} \\\\
   &=\dfrac{e_n}{2}
   \end{align*}$
   La suite $\left(e_n\right)$ est donc géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$ et de premier terme $e_0=300-200=100$.
   $\quad$
   
   2. En déduire l'expression de $d_n$ en fonction de $n$.
   On a ainsi $e_0 = 100 \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^n$ et $d_n = 200+100\times \left(\dfrac{1}{2}\right)^n$.
   $\quad$
   
   3. La suite $\left(d_n\right)$ est-elle convergente ? Justifier.
   $-1 < \dfrac{1}{2} < 1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} \left(\dfrac{1}{2}\right)^n = 0$.
   Ainsi $\lim\limits_{n \to +\infty} d_n = 200$.
   La suite $\left(d_n\right)$ converge donc vers $200$.
4. On admet que pour tout entier naturel $n$, \[a_n = 100n\left(\dfrac{1}{2}\right)^n + 110\left(\dfrac{1}{2}\right)^n + 340.\]
   1. Montrer que pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 3, on a $2n^2 \geqslant (n + 1)^2$.
   $P(n)=2n^2-(n+1)^2 = 2n^2-n^2-2n-1 = n^2-2n-1$
   $\Delta = 4+4=8$.
   Ce polynôme possède donc deux racines : $n_1 = \dfrac{2-\sqrt{8}}{2}=1-\sqrt{2} \approx -0,41$ et $n_2=1+\sqrt{2}\approx 2,41$.
   Le polynôme $P(n)$ est donc positif à l’extérieur des racines.
   Par conséquent pour tout entier naturel $n \ge n_2$ on a $2n^2 – (n+1)^2 \ge 0$.
   On obtient ainsi le résultat : pour tout entier naturel supérieur ou égal à $3$ $2n^2 \ge (n+1)^2$.
   $\quad$
   
   2. Montrer par récurrence que pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 4, $2^n \geqslant n^2$.
   Initialisation : Si $n=4$ on a : $2^4 = 16$ et $4^2 = 16$.
   Par conséquent la propriété est vraie au rang $4$.
   $\quad$
   Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$ : $2^n \ge n^2$.
   $\begin{align*} 2^{n+1} &= 2\times 2^n \\\\
   & \ge 2n^2 \\\\
   & \ge (n+1)^2 \quad \text{d’après la question précédente}
   \end{align*}$
   La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
   $\quad$
   Conclusion : La propriété est vraie au rang $4$ et est héréditaire.
   Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $4$, $2^n \ge n^2$.
   $\quad$
   
   3. En déduire que pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 4, $0 \leqslant 100n\left(\dfrac{1}{2}\right)^n \leqslant \dfrac{100}{n}$.
   Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à $4$.
   On a donc $100n \left(\dfrac{1}{2}\right)^n \ge 0$ en tant que produit de facteurs positifs.
   $\begin{align*} 100n\left(\dfrac{1}{2}\right)^n &=\dfrac{100n}{2^n} \\\\
   & \le \dfrac{100n}{n^2} \\\\
   & \le \dfrac{100}{n}
   \end{align*}$
   Ainsi $0 \le 100n \left(\dfrac{1}{2}\right)^n \le \dfrac{100}{n}$
   $\quad$
   
   4. Étudier la convergence de la suite $\left(a_n\right)$.
   Or $\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{100}{n} = 0$.
   D’après le théorème des gendarmes on a donc $\lim\limits_{n \to +\infty} 100n \left(\dfrac{1}{2}\right)^n = 0$.
   Or $\lim\limits_{n\to +\infty} 110\left(\dfrac{1}{2}\right)^n = 0$.
   Ainsi, par somme de limites, $\lim\limits_{n\to +\infty} a_n = 340$.
   La suite $\left(a_n\right)$ converge donc vers $340$.