Baccalauréat S Liban 29 mai 2018 - Correction Spécialité

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Correction de l'exercice de Spécialité 5 points

Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

On définit la suite de réels $\left(a_n\right)$ par : \[\left\{\begin{array}{l c l} a_0 &= &0\\ a_1 &= &1\\ a_{n+1} &=& a_n + a_{n-1}\: \text{ pour }\: n \geqslant 1. \end{array}\right.\] On appelle cette suite la suite de Fibonacci.

1. Recopier et compléter l'algorithme ci-dessous pour qu'à la fin de son exécution la variable $A$ contienne le terme $a_n$. $$\begin{array}{|c c|}\hline 1&A \gets 0\\ 2& B \gets 1\\ 3& \text{Pour } i \text{ allant de 2 à } n :\\ 4& \hspace{0.4cm} C \gets A + B \\ 5& \hspace{0.4cm} A \gets \ldots \\ 6& \hspace{0.4cm} B \gets \ldots \\ 7& \text{Fin Pour}\\ \hline \end{array} $$ On obtient ainsi les premières valeurs de la suite $a_n$ : $$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline n &0 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9 &10\\ \hline a_n &0 & 1 &1 &2 &3 &5 &8 &13 &21 &34 &55\\ \hline \end{array} $$
On obtient l’algorithme suivant :
$$\begin{array}{|c c|}\hline 1&A \gets 0\\ 2& B \gets 1\\ 3& \text{Pour } i \text{ allant de 2 à } n :\\ 4& \hspace{0.4cm} C \gets A + B \\ 5& \hspace{0.4cm} A \gets B \\ 6& \hspace{0.4cm} B \gets C \\ 7& \text{Fin Pour}\\ \hline \end{array} $$ On obtient ainsi les premières valeurs de la suite $a_n$ : $$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline n &0 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9 &10\\ \hline a_n &0 & 1 &1 &2 &3 &5 &8 &13 &21 &34 &55\\ \hline \end{array} $$
Remarque : la valeur de départ $i=2$ donnée par l’énoncé est fausse. Il faut en effet que la boucle commence à $i=1$ pour que l’algorithme réponde précisément à la question posée. Une autre alternative serait par exemple de faire varier la variable $i$ de $2$ à $n+1$.
$\quad$
2. Soit la matrice $A = \begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}$. Calculer $A^2$, $A^3$ et $A^4$. Vérifier que $A^5 = \begin{pmatrix}8&5\\5&3\end{pmatrix}$.
On a $A=\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}$
Donc $A^2=\begin{pmatrix} 1+1&1+0\\1+0&1+0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}$
$A^3=\begin{pmatrix}2+1&1+1\\2+0&1+0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&2\\2&1\end{pmatrix}$
$A^4=\begin{pmatrix}5+2&2+1\\3+0&2+0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5&3\\3&2\end{pmatrix}$
$A^5=\begin{pmatrix}5+3&3+2\\5+0&3+0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}8&5\\5&3\end{pmatrix}$.
$\quad$
3. On peut démontrer, et nous admettrons, que pour tout entier naturel $n$ non nul, \[A^n = \begin{pmatrix}a_{n+1}&a_n\\a_n&a_{n-1}\end{pmatrix}.\]
   1. Soit $p$ et $q$ deux entiers naturels non nuls. Calculer le produit $A^p \times A^q$ et en déduire que \[a_{p+q} = a_p \times a_{q+1} + a_{p-1} \times a_q.\]
   On a $A^p\times A^q=A^{p+q}$
   $A^p=\begin{pmatrix} a_{p+1}&a_p\\a_p&a_{p-1}\end{pmatrix}$
   $A^q=\begin{pmatrix} a_{q+1}&a_p\\a_q&a_{q-1}\end{pmatrix}$
   Dans le produit $A_p\times A_q$ on regarde le terme situé sur la deuxième ligne et la première colonne.
   Ainsi $a_{p+q}=a_p\times a_{q+1}+a_{p-1}\times a_q$.
   $\quad$
   
   2. En déduire que si un entier $r$ divise les entiers $a_p$ et $a_q$, alors $r$ divise également $a_{p+q}$.
   Si $r$ divise $a_p$ et $a_q$ alors :
   $a_p\times a_{q+1} \equiv 0~~[r]$ et $a_{p-1}\times a_q\equiv 0~~[r]$.
   Donc, par somme, $a_{p+q}\equiv 0~~[r]$.
   $r$ divise également $a_{p+q}$.
   $\quad$
   
   3. Soit $p$ un entier naturel non nul. Démontrer, en utilisant un raisonnement par récurrence sur $n$, que pour tout entier naturel $n$ non nul, $a_p$ divise $a_{np}$.
   Initialisation : Si $n=1$ alors $a_{np}=a_p$. $a_p$ divise donc $a_{np}$
   $\quad$
   Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$ non nul : $a_p$ divise $a_{np}$.
   alors $a_{(n+1)p}=a_{np+p}$
   $a_p$ divise $a_p$ et $a_{np}$ donc, d’après la question précédente, $a_p$ divise également $a_{(n+1)p}$.
   $\quad$
   Conclusion : La propriété est vraie au rang $1$ et est héréditaire.
   Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ non nul, $a_p$ divise $a_{np}$.
   $\quad$
4. 1. Soit $n$ un entier supérieur ou égal à 5. Montrer que si $n$ est un entier naturel qui n'est pas premier, alors $a_n$ n'est pas un nombre premier.
   Si $n$ est un entier naturel supérieur ou égal à $5$ qui n’est pas premier alors il existe deux entiers naturels non nul $p$ et $q$ tels que $n=pq$.
   Ainsi d’après la question précédente $a_p$ divise $a_{pq}=a_n$.
   Par conséquent $a_n$ n’est pas un nombre premier.
   $\quad$
   
   2. On peut calculer $a_{19} = 4181 = 37 \times 113$. Que penser de la réciproque de la propriété obtenue dans la question 4. a. ?
   La réciproque de la propriété obtenue à la question 4.a. est “Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à $5$. Si $a_n$ n’est pas un nombre premier alors $n$ n’est pas un nombre premier.
   Or $a_{19}$ n’est pas un nombre premier alors que $19$ l’est.
   La réciproque est donc fausse.
   $\quad$