Continuité

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Exemple 4

$f$ définie par $f(x) = x^ 3$ est continue et strictement croissante sur $[0   ;   +\infty[$ ,
$f (1) = 1$ et $f (2) = 8$

Donc pour tout $k \in [ 1   ;   8 ]$ , l'équation $x^ 3 = k$ a au moins une solution dans $[ 1   ;   2 ]$

En particulier l'équation $x ^3 = 5$ a au moins une solution $\alpha$ dans $[ 1   ;   2 ]$ .

De plus,$ f$ étant strictement croissante, si $x > \alpha$ , on a $f(x) > f ( \alpha )$, donc $x ^3 > 5$

et si $x < \alpha$ , on a $f(x) < f ( \alpha )$, donc $x ^3 < 5$ .

Il ne peut donc pas y avoir de solution à l'équation $x^ 3 = 5$, qui soit différente de $\alpha$ .

Donc l'équation $ x^ 3 = 5$ a une solution $\alpha$ unique dans l'intervalle $[ 1   ;   2 ]$ .

Déterminons une valeur approchée de $\alpha$ en utilisant la méthode de dichotomie.

On a $(1+2)/2=3/2=1,5$ ; $ f (1,5) =27/8< 5$ et $f (2) > 5$

Donc 5 est compris entre $f (1,5)$ et $f (2)$.

L'utilisation du théorème des valeurs intermédiaires permet alors d'affirmer que l'équation $x ^3 = 5$ a une solution comprise entre 1,5 et 2 .

Cette solution ne peut être que $\alpha$ . On a donc $1,5 < \alpha < 2$

On a $(1,5+2)/2= 1,75$ ; $f (1,75) = 5,359375$ donc $f (1,75) > 5$ et $f (1,5) < 5 $

Donc 5 est compris entre $f (1,5)$ et $f (1,75)$

L'utilisation du théorème des valeurs intermédiaires permet alors d'affirmer que l'équation $x ^3 = 5$ a une solution comprise entre 1,5 et 1,75 .

Cette solution ne peut être que $\alpha$ . On a donc $1,5 < \alpha < 1,75$

En réitérant le procédé, on obtient des encadrements de $\alpha$ d'amplitude diminuée de moitié à chaque étape.

Cela revient à dire que l'on construit deux suites $u_ n$ et $v_ n$ adjacentes dont la limite est $\alpha$ .

Après 4 étapes supplémentaires, on obtient $\alpha\approx 1,71$ à $10^{ -2}$ près .

Nota : ce réel $\alpha$ est appelé racine cubique de 5 , on note $\alpha =^3\sqrt{5} $

Ce que l'on peut aussi exprimer sous la forme : L'équation $f(x) = k$ a une solution unique $c$ dans $[a ; b]$ .

$f$ une fonction définie, continue et strictement croissante sur $[a ; b]$	$f$ une fonction définie, continue et strictement décroissante sur $[a ; b]$

Remarque

Dans le cas où $f$ est strictement croissante sur $[a ; b]$ , le théorème précédent justifie que :

pour tout $k \in [f(a) ; f(b)]$ , l'équation $f(x) = k$ a une unique solution dans $[a ; b]$ .

On dit que $f$ réalise une bijection de $[a ; b]$ sur $[f(a) ; f(b)]$.

La fonction qui, à tout réel $k$ de $[f(a) ; f(b)]$ associe l'unique réel $c$ de $[a ; b]$ tel que $f(c) = k$ est appelée fonction réciproque de $ f $, elle est notée $f ^{-1}$ .

$f(c) = k$ se traduit alors par $c = f^{ -1} (k) $

Lorsque $f$ est strictement décroissante sur $[a ; b]$ , elle réalise une bijection de $[a ; b]$ sur $[f(b) ; f(a)]$ et on notera de même $f ^{-1}$ sa fonction réciproque.