Baccalauréat S Antilles-Guyane. 7 septembre 2017 - Exercice 2

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Exercice 2 3 points

Commun à tous les candidats

Soit la suite de nombres complexes $\left(z_n\right)$ définie par 1 \[\left\{\begin{array}{l c l} z_0& =& 100\\ z_{n+1}& =&\dfrac{\text{i}}{3}z_n\: \text{pour tout entier naturel }\:n. \end{array}\right.\] Le plan est muni d'un repère orthonormé direct $\left(\text{O},~\vec{u},~\vec{v}\right)$. Pour tout entier naturel $n$, on note $M_n$ le point d'affixe $z_n$.

1. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, les points O, $M_n$ et $M_{n+2}$ sont alignés.
2. On rappelle qu'un disque de centre A et de rayon $r$, où $r$ est un nombre réel positif, est l'ensemble des points $M$ du plan tels que $\text{A}M \leqslant r$. Démontrer que, à partir d'un certain rang, tous les points $M_n$ appartiennent au disque de centre O et de rayon 1.