Baccalauréat S Antilles-Guyane. 7 septembre 2017 - Correction Exercice 3

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Correction de l'exercice 3 (5 points)

Commun à tous les candidats

Partie A

Soit la fonction $f$ définie et dérivable sur $[1~;~+ \infty[$ telle que, pour tout nombre réel $x$ supérieur ou égal à 1, \[f(x) = \dfrac{1}{x} \ln (x).\] On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé.

1. Démontrer que la courbe $\mathcal{C}$ admet une asymptote horizontale.
$\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x}=0$. Par conséquent la courbe $\mathscr{C}$ possède une asymptote horizontale d’équation $y=0$.
$\quad$
2. Déterminer la fonction dérivée $f'$ de la fonction $f$ sur $[1~;~+ \infty[$.
D’après l’énoncé la fonction $f$ est dérivable sur $[1;+\infty[$.
$\begin{align*} f'(x)&=-\dfrac{1}{x^2}\ln(x)+\dfrac{1}{x}\times \dfrac{1}{x^2} \\
&=\dfrac{-\ln(x)+1}{x^2}
\end{align*}$
$\quad$
3. Étudier les variations de la fonction $f$ sur $[1~;~+ \infty[$.
Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $-\ln(x)+1$.
$-\ln(x)+1=0 \iff \ln(x)=1 \iff x=\text{e}$
$-\ln(x)+1>0 \iff \ln(x)<1 \iff x<\text{e}$
Par conséquent la fonction $f$ est strictement croissante sur l’intervalle $[1;\text{e}]$ et strictement décroissante sur l’intervalle $[\text{e};+\infty[$.
$\quad$

 

Partie B

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par \[u_n = \displaystyle\int_1^2 \dfrac{1}{x^{n+1}}\ln (x)\:\text{d}x\:\:\text{pour tout entier naturel} \:n.\]

1. Démontrer que $u_0 = \dfrac{1}{2} [\ln (2)]^2$. Interpréter graphiquement ce résultat.
$\begin{align*} u_0&=\int_1^2 \dfrac{1}{x}\ln(x) \text{d} x \\
&=\left[\dfrac{1}{2}\left(\ln(x)\right)^2\right]_1^2 \\
&=\dfrac{1}{2}\left[\ln(2)\right]^2
\end{align*}$
Cela signifie donc que l’aire du domaine compris entre la courbe $\mathscr{C}$, l’axe des abscisses et les droites d’équation $x=1$ et $x=2$ a une aire de $\dfrac{1}{2}\left[\ln(2)\right]^2$ u.a.
$\quad$
2. Prouver que, pour tout entier naturel $n$ et pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle [1~;~2], on a \[0 \leqslant \dfrac{1}{x^{n+1}} \ln (x) \leqslant \dfrac{1}{x^{n+1}} \ln (2).\]
La fonction $\ln$ est strictement croissante sur l’intervalle $[1;2]$.
Par conséquent :
$0 \leq \ln(x) \leq \ln(2) \iff 0 \leq \dfrac{1}{x^{n+1}} \ln(x) \leq \dfrac{1}{x^{n+1}}\ln(2)$.
$\quad$
3. En déduire que, pour tout entier naturel $n\geq 1$, on a \[0 \leqslant u_n \leqslant \dfrac{\ln (2)}{n} \left(1 - \dfrac{1}{2^n}\right).\]
Pour tout entier naturel $n$, la fonction $x\mapsto \dfrac{1}{x^{n+1}}\ln(x)$ est continue et positive sur l’intervalle $[1;2]$.
Donc, d’après la question précédente, pour tout entier naturel $n$ non nul :
$\begin{align*} 0 \leq \dfrac{1}{x^{n+1}} \ln(x) \leq \dfrac{1}{x^{n+1}}\ln(2)& \iff 0 \leq u_n \leq \int_0^n \dfrac{1}{x^{n+1}}\ln(2) \text{d} x \\
&\iff 0 \leq u_n \leq \left[-\dfrac{\ln(2)}{n}\times \dfrac{1}{x^n}\right]_1^2 \\
&\iff 0 \leq u_n \leq -\dfrac{\ln(2)}{n}\left(\dfrac{1}{2^n}-1\right)\\
&\iff 0 \leq u_n \leq \dfrac{\ln(2)}{n}\left(1-\dfrac{1}{2^n}\right)
\end{align*}$
$\quad$
4. Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
$-1<\dfrac{1}{2} <1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{1}{2^n}=0$ et $\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{\ln(2)}{n}\left(1-\dfrac{1}{2^n}\right) = 0$.
D’après le théorème des gendarmes $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n =0$.
$\quad$