Baccalauréat S Antilles-Guyane. 7 septembre 2017 - Exercice 3

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Exercice 3 5 points

Fonctions

Commun à tous les candidats

Partie A

Soit la fonction $f$ définie et dérivable sur $[1~;~+ \infty[$ telle que, pour tout nombre réel $x$ supérieur ou égal à 1, \[f(x) = \dfrac{1}{x} \ln (x).\] On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé.

1. Démontrer que la courbe $\mathcal{C}$ admet une asymptote horizontale.
2. Déterminer la fonction dérivée $f'$ de la fonction $f$ sur $[1~;~+ \infty[$.
3. Étudier les variations de la fonction $f$ sur $[1~;~+ \infty[$.

 

Partie B

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par \[u_n = \displaystyle\int_1^2 \dfrac{1}{x^{n+1}}\ln (x)\:\text{d}x\:\:\text{pour tout entier naturel} \:n.\]

1. Démontrer que $u_0 = \dfrac{1}{2} [\ln (2)]^2$. Interpréter graphiquement ce résultat.
2. Prouver que, pour tout entier naturel $n$ et pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle [1~;~2], on a \[0 \leqslant \dfrac{1}{x^{n+1}} \ln (x) \leqslant \dfrac{1}{x^{n+1}} \ln (2).\]
3. En déduire que, pour tout entier naturel $n\geq 1$, on a \[0 \leqslant u_n \leqslant \dfrac{\ln (2)}{n} \left(1 - \dfrac{1}{2^n}\right).\]
4. Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.