Baccalauréat S Antilles-Guyane. 7 septembre 2017 - Correction Spécialité

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Correction de l'exercice de Spécialité 5 points

Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

1. Soit $p$ un entier relatif donné. On s'intéresse dans cette question à l'équation $\left(E_p\right)$ \[3x + 4y = p\] où $(x~;~y)$ est un couple d'entiers relatifs.
   1. Vérifier que le couple $(-p~;~p)$ est une solution particulière de l'équation.
   $3(-p)+4p=-3p+4p=p$
   $\quad$
   Ainsi le couple $(-p~;~p)$ est une solution particulière de l'équation.
   2. Démontrer que l'ensemble des solutions de $\left(E_p\right)$ est l'ensemble des couples de la forme \[(- p + 4k~;~p - 3k) \:\text{où }\:k \:\text{est un entier relatif.}\]
   Soit $(x;y)$ un couple solution de l’équation $\left(E_p\right)$.
   $3(-p)+4p=p$ et $3x+4y=p$
   Par différence :
   $3(-p-x)+4(p-y)=0$ soit $3(p+x)=4(p-y)$.
   $3$ et $4$ sont premiers entre eux. Donc d’après le théorème de Gauss, il existe un entier relatif $k$ tel que :
   $p+x=4k$ et $p-y=3k$ soit $x=4k-p$ et $y=p-3k$.
   Réciproquement, on considère un entier relatif $k$.
   $3(-p+4k)+4(p-3k)=-3p+12k+4p-12k=p$.
   $\quad$
   Donc l’ensemble des solutions de $\left(E_p\right)$ est l’ensemble des couples de la forme $(-p+4k;p-3k)$ où $k$ est un entier relatif.

Dans la suite de l'exercice, l'espace est muni d'un repère orthonormé $\left(\text{O},~\vec{i},~\vec{j},~\vec{k}\right)$. On considère le plan $P$ d'équation cartésienne \[6x + 8y - z = 0.\]

2. Soit $M_0$ un point de coordonnées $\left(x_0~;~y_0~;~z_0\right)$ qui appartient au plan $P$ et dont les trois coordonnées sont des entiers relatifs.
   1. Démontrer que $z_0$ est pair.
   On a donc $6x_0+8y_0-z_0=0 \iff z_0=6x_0+8y_0 \iff z_0=2(3x_0+4y_0)$.
   Donc $z_0$ est pair puisque $3x_0+4y_0$ est un entier .
   $\quad$
   
   2. On pose $z_0 = 2p$ où $p$ est un entier relatif. Prouver que le couple $\left(x_0~;~y_0\right)$ est solution de l'équation $\left(E_p\right)$.
   $6x_0+8y_0-2p=0 \iff 6x_0+8y_0=2p \iff 3x_0+4y_0=p$
   Donc $\left(x_0;y_0\right)$ est solution de l’équation $\left(E_p\right)$.
   $\quad$
   
   3. En utilisant la question 1., déterminer l'ensemble des points du plan $P$ à coordonnées entières.
   D’après la question 1.b. l’ensemble des points du plans $P$ à coordonnées entières sont les points de coordonnées $(-p+4k;p-3k;2p)$ où $k$ et $p$ sont des entiers relatifs.
   $\quad$
3. À tout point $M$ de coordonnées $(x~;~y~;~z)$, on associe le point $M'$ de coordonnées $\left(x'~;~y'~;~z'\right)$ avec \[\begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}31&75&180\\56&41&- 144\\28&- 30&29 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}.\]
   1. Montrer que $6x' + 8y' - z' = 101(6x + 8y - z)$.
   On a donc :
   $\begin{cases} x’=31x+75y+180z\\y’=56x+41y-144z\\z’=28x-30y+29z\end{cases}$
   Par conséquent :
   $\begin{array} 6x’+8y’-z’&=6(31x+75y+180z)+8(56x+41y-144z)-(28x-30y+29z) \\
   &=186x+450y+1~080z+448x+328y-1~152z-28x+30y-29z \\
   &=606x+808y-101z\\
   &=101(6x+8y-z)
   \end{array}$
   
   2. En déduire que si le point $M$ est un point du plan $P$, alors le point $M'$ est aussi un point du plan $P$.
   Si $M$ est un point du plan $P$ alors $6x+8y-z=0$.
   Par conséquent $101(6x+8y-z)=0$ et $M’$ est donc un point du plan $P$.
   $\quad$
   
   3. Soit $\Delta$ la droite perpendiculaire à $P$ passant par O. Montrer que si le point $M$ appartient à $\Delta$, alors le point $M'$ appartient aussi à $\Delta$.
   Une représentation paramétrique de $\Delta$ est alors $\begin{cases} x=6t\\y=8t\\z=-t\end{cases} \quad, t\in \mathbb{R}$.
   Supposons que le point $M$ appartienne à la droite $\Delta$. Il existe un réel $t$ tel que :
   $\begin{cases} x’=31\times 6t+75\times 8t-180t\\y’=56\times 6t+41\times 8t+144t\\z’=28\times 6t-30\times 8t-29t\end{cases}$
   soit $\begin{cases} x’=606t\\y’=808t\\z’=-101t\end{cases}$
   par conséquent $\begin{cases} x’=6\times 101t\\y’=8\times 101t\\z’=-101t\end{cases}$
   Le point $M’$ est un point de $\Delta$ de paramètre $101t$.
   $\quad$