Baccalauréat S Métropole - La Réunion 12 septembre 2017 - Correction Spécialité

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Correction de l'exercice de Spécialité 5 points

Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Partie A

Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé $\left(\text{O},~\vec{i},~\vec{j},~\vec{k}\right)$, on considère les points A$(1~;~5~;~- 2)$, B$(7~;~- 1~;~3)$ et C$(- 2~;~7~;~-2)$ et on note $P$ le plan (ABC). On cherche une équation cartésienne du plan $P$ sous la forme : $ax + by + cz = 73$, où $a,\: b$ et $c$ sont des nombres réels. On note $X$ et $Y$ les matrices colonnes : $X = \begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}$ et $Y = \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$.

1. Montrer que $X$ vérifie la relation : $MX = 73Y$, où $M$ est la matrice $M = \begin{pmatrix}1&5&- 2\\7&- 1&3\\- 2&7&- 2\end{pmatrix}$.
Le point $A(1;5;-2)$ appartient au plan $\mathcal{P}$. Par conséquent $a+5b-2c=73$.
Le point $B(7;-1;3)$ appartient au plan $\mathcal{P}$. Par conséquent $7a-b+3c=73$.
Le point $C(-2;7;-2)$ appartient au plan $\mathcal{P}$. Par conséquent $-2a+7b-2c=73$.
On obtient ainsi le système suivant :
$\begin{cases} a+5b-2c=73\\7a-b+3c=73\\-2a+7b-2c=73\end{cases}$
Par conséquent $X$ vérifie bien la relation $MX=73Y$.

2. Soit $N$ la matrice : $N = \begin{pmatrix}19&4&- 13\\- 8&6&17\\- 47&17&36\end{pmatrix}$. À l'aide d'une calculatrice, on a calculé les produits $M \times N$ et $N \times M$, et on a obtenu les copies d'écran suivantes : $$ \begin{array}{cc} \text{Pour } M \times N : & \text{Pour }N \times M : \\ \begin{array}{|r| r r r|}\hline {}{Ans}& {c}{1}&{c}{2}& {c}{3}\\\hline 1& 73&0&0\\ 2&0&73&0\\ 3& 0 &0 &73\\ \hline \end{array}&\begin{array}{|r |r r r|}\hline {}{Ans}& {c}{1}&{c}{2}& {c}{3}\\\hline 1& 73&0&0\\ 2&0&73&0\\ 3& 0 &0 &73\\ \hline \end{array}\\ \end{array} $$ À l'aide de ces informations, justifier que la matrice $M$ est inversible et exprimer sa matrice inverse $M^{-1}$ en fonction de la matrice $N$.
On note $I_3$ la matrice identité d’ordre $3$.
On a donc d’après ces copies d’écran $M\times N=N \times N=73 I_3$
Par conséquent $M^{-1}=\dfrac{1}{73}N$.

3. Montrer alors que : $X = NY$. En déduire que le plan $P$ admet pour équation cartésienne : $10x + 15y + 6z = 73$.
$MX=73Y \iff X=73M^{-1}Y\iff X=NY$
Ainsi $X=\begin{pmatrix}19&4&-13\\-8&6&17\\-47&17&36\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}10\\15\\6\end{pmatrix}$
Par conséquent, une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$ est $10x+15y+6z=73$.

Partie B

L'objectif de cette partie est l'étude des points à coordonnées entières du plan $P$ ayant pour équation cartésienne : $10x + 15y + 6z = 73$.

1. Soit $M(x~;~y~;~z)$ un point appartenant au plan $P$ et au plan d'équation $z = 3$. On suppose que les coordonnées $x$, $y$ et $z$ appartiennent à l'ensemble $\mathbb{Z}$ des entiers relatifs.
   1. Montrer que les entiers $x$ et $y$ sont solutions de l'équation $(E)$ : $2x + 3y = 11$.
   On sait donc que $M(x;y;3)$ appartient au plan $\mathcal{P}$.
   Ainsi $10x+15y+18=73 \iff 10x+15y=55\iff 2x+3y=11$.
   $\quad$
   
   2. Justifier que le couple $(7~;~- 1)$ est une solution particulière de $(E)$ puis résoudre l'équation $(E)$ pour $x$ et $y$ appartenant à $\mathbb{Z}$.
   $2\times 7+3\times (-1)=14-3=11$.
   Par conséquent $(7;-1)$ est une solution particulière de $(E)$.
   On appelle $(x;y)$ une solution de $(E)$ : $2x+3y=11$
   Par différence on obtient :
   $2(7-x)+3(-1-y)=0$
   $\iff 2(7-x)=3(1+y)$
   $2$ et $3$ sont premiers entre eux. D’après le théorème de Gauss, il existe un entier relatif $k$ tel que $1+y=2k$ et $7-x=3k$.
   Soit $y=2k-1$ et $x=7-3k$.
   Réciproquement, on considère un entier relatif $k$ et le couple $(7-3k;2k-1)$.
   $2(7-3k)+3(2k-1)=14-6k+6k-3=11$.
   Le couple $(7-3k;2k-1)$ est donc solution de l’équation $(E)$.
   Les solution de $(E)$ dans $\mathbb{Z}$ sont donc les couples $(7-3k;2k-1)$ pour tout entier relatif $k$.
   $\quad$
   
   3. Montrer qu'il existe exactement deux points appartenant au plan $P$ et au plan d'équation $z = 3$ et dont les coordonnées appartiennent à l'ensemble $\mathbb{N}$ des entiers naturels. Déterminer les coordonnées de ces deux points.
   On cherche les entiers relatifs $k$ qui vérifient :
   $\begin{cases} 7-3k\geq 0 \\2k-1 \geq 0 \end{cases} \iff \begin{cases} 7\geq 3k \\2k \geq 1 \end{cases} \iff \dfrac{1}{2} \leq p k \leq p \dfrac{7}{3}$.
   Par conséquent $k=1$ ou $k=2$.
   Si $k=1$ alors les coordonnées du point du plan associé sont $(4;1;3)$.
   Si $k=2$ alors les coordonnées du point du plan associé sont $(1;3;3)$.
2. Dans cette question, on se propose de déterminer tous les points $M(x~;~y~;~z)$ du plan $P$ dont les coordonnées sont des entiers naturels. Soient $x$, $y$ et $z$ des entiers naturels tels que $10x + 15y + 6z = 73$.
   1. Montrer que $y$ est impair.
   Soit $(x;y;z)$ une solution de l’équation $(E)$.
   $10x+15y+6z=73 \iff 15y=73-10x-6z$
   Si $y$ est pair alors $15y \equiv 0~~[2]$
   et $73-10x-6z \equiv 1~~[2]$.
   Ainsi $y$ ne peut pas être pair. $y$ est donc pair.
   $\quad$
   
   2. Montrer que: $x \equiv 1 \quad[3]$. On admet que : $z \equiv 3 \quad[5]$.
   On a $10x=73-15y-6z$.
   On a $10\equiv 1~~[3]$ et $73-15y-6z\equiv 1~~[3]$.
   Par conséquent $x\equiv 1~~[3]$.
   $\quad$
   
   3. On pose alors : $x = 1 + 3p$, $y= 1 + 2q$ et $z = 3 + 5r$, où $p$, $q$ et $r$ sont des entiers naturels. Montrer que le point $M(x~;~y;~z)$ appartient au plan $P$ si et seulement si $p + q + r = 1$.
   
   $\begin{align*} M(x;y;z)\in \mathcal{P}&\iff 10(1+3p)+15(1+2q)+6(3+5r)=73 \\
   &\iff 10+30p+15+30q+18+30r=73 \\
   &\iff 30p+30q+30r=30 \\
   &\iff p+q+r=1
   \end{align*}$
   $\quad$
   
   4. En déduire qu'il existe exactement trois points du plan $P$ dont les coordonnées sont des entiers naturels. Déterminer les coordonnées de ces points.
   D’après les questions B.2.a et B.2.b on sait que $y\equiv 0~~[2]$, $x\equiv 1~~[3]$ et $z\equiv 3~~[5]$.
   Donc il existe trois entiers naturels $p,q$ et $r$ tels que $x=1+3p$, $y=1+2q$ et $z=3+5r$.
   On sait que $p+q+r=1$.
   Par conséquent :
   $\bullet$ $p=1$ et $q=r=0$ : on a donc le point de coordonnées $(4;1;3)$.
   $\bullet$ $q=1$ et $p=r=0$ : on a donc le point de coordonnées $(1;3;3)$.
   $\bullet$ $R=1$ et $p=q=0$ : on a donc le point de coordonnées $(1;1;8)$.
   Les coordonnées des points du plan $\mathscr{P}$ à coordonnées entières sont donc $(4;1;3)$, $(1;3;3)$ et $(1;1;8)$.