Baccalauréat S Pondichéry 22 avril 2016 - Exercice 5

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Exercice 5 5 points

Commun à tous les candidats On souhaite stériliser une boîte de conserve. Pour cela, on la prend à la température ambiante $T_0 = 25$degrés C et on la place dans un four à température constante $T_F = 100$degrés C. La stérilisation débute dès lors que la température de la boîte est supérieure à 85degrés C.
Les deux parties de cet exercice sont indépendantes

Partie A : Modélisation discrète

Pour $n$ entier naturel, on note $T_n$ la température en degré Celsius de la boîte au bout de $n$ minutes. On a donc $T_0 = 25$. Pour $n$ non nul, la valeur $T_n$ est calculée puis affichée par l'algorithme suivant : $$\begin{array}{ |l|l|}\hline \text{Initialisation :} & T \text{ prend la valeur 25}\\ \hline \text{ Traitement :} & \text{ Demander la valeur de } n \\ & \text{ Pour } i \text{ allant de } 1 \text{ à } n \text{ faire}\\ &\hspace{0,5cm} T \text{ prend la valeur } 0,85 \times T + 15 \\ & \text{ Fin Pour }\\ \hline \text{ Sortie :} & \text{ Afficher }T\\ \hline \end{array} $$

 

1. Déterminer la température de la boîte de conserve au bout de 3 minutes. Arrondir à l'unité.
2. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, on a $T_n = 100 - 75 \times 0,85^n$.
3. Au bout de combien de minutes la stérilisation débute-elle ?

 

Partie B : Modélisation continue

Dans cette partie, $t$ désigne un réel positif. On suppose désormais qu'à l'instant $t$ (exprimé en minutes), la température de la boîte est donnée par $f(t)$ (exprimée en degré Celsius) avec : \[f(t) = 100 - 75\text{e}^{- \frac{\ln 5}{10}t}.\]

1. 1. Étudier le sens de variations de $f$ sur $[0~;~+ \infty[$.
   2. Justifier que si $t \geqslant 10$ alors $f(t) \geqslant 85$.
2. Soit $\theta$ un réel supérieur ou égal à 10. On note $\mathcal{A}(\theta)$ le domaine délimité par les droites d'équation $t = 10,\: t = \theta,\:$ $y = 85$ et la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ de $f$. On considère que la stérilisation est finie au bout d'un temps $\theta$, si l'aire, exprimée en unité d'aire du domaine $\mathcal{A}(\theta)$ est supérieure à $80$.
   
   
   1. Justifier, à l'aide du graphique donné en annexe , que l'on a $\mathcal{A}(25) > 80$.
   2. Justifier que, pour $\theta \geqslant 10$, on a $\mathcal{A}(\theta) = 15(\theta - 10) - 75 \displaystyle\int_{10}^{\theta} \text{e}^{- \frac{\ln 5}{10}t}\:\text{d}t$.
   3. La stérilisation est-elle finie au bout de 20 minutes ?