Baccalauréat S Pondichéry 22 avril 2016 - Correction Spécialité

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Correction de l'exercice de Spécialité 5 points

Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Partie A

On considère les matrices $M$ de la forme $M = \begin{pmatrix}a&b\\5&3\end{pmatrix}$ où $a$ et $b$ sont des nombres entiers. Le nombre $3a - 5b$ est appelé le déterminant de $M$. On le note det$(M)$. Ainsi det$(M) = 3a - 5b$.

1. Dans cette question on suppose que det$(M) \ne 0$ et on pose $N = \dfrac{1}{\text{det}(M)}\begin{pmatrix}3&- b\\- 5&a\end{pmatrix}$. Justifier que $N$ est l'inverse de $M$.
$\begin{align*} N\times M&=\dfrac{1}{3a-5b}\begin{pmatrix}3&-b\\-5&a\end{pmatrix} \begin{pmatrix}a&b\\5&3\end{pmatrix} \\
&=\dfrac{1}{3a-5b}\begin{pmatrix}3a-5b&3b-3b\\-5a+5a&-5b+3a\end{pmatrix} \\
&=\begin{pmatrix} 1&0\\0&1\end{pmatrix}
\end{align*}$
Par conséquent $N$ est bien l’inverse de $M$.
$\quad$
2. On considère l'équation $(E) :\quad \text{det}(M) = 3$. On souhaite déterminer tous les couples d'entiers $(a~;~b)$ solutions de l'équation $(E)$.
   1. Vérifier que le couple $(6~;~3)$ est une solution de $(E)$.
   $3\times 6-5\times 3=18-15=3$.
   Donc le couple $(6;3)$ est bien solution de l’équation det$(M)=3$.
   $\quad$
   
   2. Montrer que le couple d'entiers $(a~;~b)$ est solution de $(E)$ si et seulement si $3(a - 6) = 5(b - 3)$. En déduire l'ensemble des solutions de l'équation $(E)$.
   On considère un autre couple d’entiers solutions $(a;b)$.
   On a donc $3a-5b=3$ et $3\times 6-5\times 3=3$.
   Par soustraction, on obtient : $3a-3\times 6-5b+5\times 3 = 0$
   Soit $3(a-6)=5(b-3)$.
   Donc si $(a;b)$ est solution de l’équation alors $3(a-6)=5(b-3)$.
   $\quad$
   Réciproquement si $3(a-6)=5(b-3)$
   Alors $3a-18=5b-15 \Leftrightarrow 3a-5b=3$ et $(a;b)$ est solution de l’équation $(E)$.
   $\quad$
   Ainsi $(a;b)$ est solution de l’équation $(E)$ si, et seulement si, $3(a-6)=5(b-3)$.
   $\quad$
   $5$ et $3$ sont premiers entre eux.
   D’après le théorème de Gauss, il existe donc un entier relatif $k$ tel que :
   $a-6=5k$ et $b-3=3k$.
   Soit $a=6+5k$ et $b=3+3k$.
   $\quad$Réciproquement, soit $k\in \mathbb Z$. Alors :
   $3(6+5k)-5(3+3k) = 18+15k-15-15k=3$.
   Donc le couple $(6+5k;3+3k)$ est solution de l’équation $(E)$.
   $\quad$

Partie B

 

1. On pose $Q = \begin{pmatrix}6 &3\\ 5& 3\end{pmatrix}$. En utilisant la partie A, déterminer la matrice inverse de $Q$.
det$(Q) =3\times 6-3\times 5=3$.
Ainsi l’inverse de $Q$ est $Q^{-1}=\dfrac{1}{3}\begin{pmatrix}3&-3\\-5&6\end{pmatrix}$.
$\quad$ En vidéo !
2.  Codage avec la matrice  $Q$ Pour coder un mot de deux lettres à l'aide de la matrice $Q = \begin{pmatrix}6 &3\\ 5& 3\end{pmatrix}$ on utilise la procédure ci-après :
   Étape 1 : On associe au mot la matrice $X = \begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}$ où $x_1$ est l'entier correspondant à la première lettre du mot et $x_2$ l'entier correspondant à la deuxième lettre du mot selon le tableau de correspondance ci-dessous : $$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline A&B&C&D&E&F&G&H&I&J&K&L&M\\ \hline 0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12\\ \hline\hline N&O&P&Q&R&S&T&U&V&W&X&Y&Z\\ \hline 13&14&15&16&17&18&19&20&21&22&23&24&25\\ \hline \end{array} $$
   Étape 2 : La matrice $X$ est transformée en la matrice $Y = \begin{pmatrix}y_1\\y_2\end{pmatrix}$ telle que $Y = QX$.
   Étape 3 : La matrice $Y$ est transformée en la matrice $R = \begin{pmatrix}r_1\\r_2\end{pmatrix}$ telle que $r_1$ est le reste de la division euclidienne de $y_1$ par 26 et $r_2$ est le reste de la division euclidienne de $y_2$ par 26.
   Étape 4 : À la matrice $R = \begin{pmatrix}r_1\\r_2\end{pmatrix}$ on associe un mot de deux lettres selon le tableau de correspondance de l'étape 1. \[\text{Exemple :} \text{JE} \to X = \begin{pmatrix}9\\4\end{pmatrix} \to Y = \begin{pmatrix}66\\57\end{pmatrix} \to R = \begin{pmatrix}14\\5\end{pmatrix} \to \text{OF}.\]
   Le mot JE est codé en le mot OF. Coder le mot DO.
   DO$\rightarrow X=\begin{pmatrix}3\\14\end{pmatrix}$
   $Y=QX=\begin{pmatrix}60\\57\end{pmatrix}$
   Or $60 \equiv 8~[26]$ et $57\equiv 5~[26]$.
   Donc $R=\begin{pmatrix}8\\5\end{pmatrix}$
   Le mot DO est donc codé en IF
   $\quad$
3. Procédure de décodage On conserve les mêmes notations que pour le codage. Lors du codage, la matrice $X$ a été transformée en la matrice $Y$ telle que $Y = QX$.
   1. Démontrer que $3X = 3Q^{-1}Y$ puis que $\left\{\begin{array}{l c r} 3x_1&=&3r_1 - 3r_2 \quad [26]\\ 3x_2&=&-5r_1 + 6r_2 \quad [26] \end{array}\right.$
   det$(Q) =3\times 6-3\times 5=3$.
   $3Q^{-1}Y=3Q^{-1}QX=3X$
   Par conséquent $\begin{cases} 3x_1=3y_1-3y_2\\3x_2=-5y_1+6y_2\end{cases}$
   En passant au modulo, on obtient alors :
   $\begin{cases} 3x_1\equiv 3r_1-3r_2~[26]\\3x_2\equiv -5r_1+6r_2~[26] \end{cases}$
   $\quad$
   
   2. En remarquant que $9 \times 3 \equiv 1 \quad [26]$, montrer que $\left\{\begin{array}{l c r} x_1&\equiv& r_1 - r_2 \quad [26]\\ x_2&\equiv& 7r_1 + 2r_2 \quad [26] \end{array}\right.$
   $9\times 3 = 27 = 1+26$ donc $9\times 3\equiv 1~[26]$.
   On multiplie chacune des équations du système précédent par $9$.
   On obtient alors :
   $\begin{cases} x_1\equiv r_1-r_2~[26]\\x_2\equiv -45r_1+54r_2~[26] \end{cases}$
   soit
   $\begin{cases} x_1\equiv r_1-r_2~[26]\\x_2\equiv 7r_1+2r_2~[26] \end{cases}$
   $\quad$
   
   3. Décoder le mot SG.
   SG$\rightarrow R=\begin{pmatrix}18\\6\end{pmatrix}$
   Donc $\begin{cases} x_1\equiv 18-6~[26]\\x_2\equiv 7\times 18+2\times 6~[26] \end{cases}$ $\Leftrightarrow \begin{cases}x_1\equiv 12~[26]\\x_2\equiv 138~[26]\end{cases}$ $\Leftrightarrow \begin{cases} x_1\equiv 12~[26]\\x_2\equiv 8~[26] \end{cases}$
   Ainsi le mot initial était MI.