Baccalauréat S Pondichéry 22 avril 2016 - Correction Exercice 3

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Correction de l'exercice 3 (5 points)

 


Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

ABCDEFGH désigne un cube de côté 1. Le point I est le milieu du segment [BF]. Le point J est le milieu du segment [BC]. Le point K est le milieu du segment [CD].}

Partie A


Dans cette partie, on ne demande aucune justification
On admet que les droites (IJ) et (CG) sont sécantes en un point L. Construire, sur la figure fournie en annexe et en laissant apparents les traits de construction:
  • le point L ;
  • l'intersection $\mathcal{D}$ des plans (IJK) et (CDH) ;
  • la section du cube par le plan (IJK).

Les droites $(IJ)$ et $(OM)$ sont parallèles. C’est également le cas des droites $(KM)$ et $(NI)$ d’une part et $(NO)$ et $(JK)$ d’autre part.

$\quad$

Partie B


L'espace est rapporté au repère $\left(\text{A}~;~\vec{\text{AB}},~\vec{\text{AD}},~\vec{\text{AE}}\right)$.

  1. Donner les coordonnées de A, G, I, J et K dans ce repère.
  2. Dans le repère $\left(O;\vec{AB},\vec{AD},\vec{AE}\right)$ on a :
    $A(0;0;0)$, $G(1;1;1)$, $I(1;0;0,5)$, $J(1;0,5;0)$ et $K(0,5;1;0)$.
    $\quad$
    1. Montrer que le vecteur $\vec{\text{AG}}$ est normal au plan (IJK).
    2. $\vec{AG}(1;1;1)$
      $\vec{IJ}(0;0,5;-0,5)$ donc $\vec{IJ}.\vec{AG}=0+0,5-0,5=0$. Ces vecteurs sont donc orthogonaux.
      $\vec{IK}(-0,5;1;-0,5)$ donc $\vec{IK}.\vec{AG}=-0,5+1-0,5=0$. Ces vecteurs sont donc également orthogonaux.
      Ainsi $\vec{AG}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires (c’est évident qu’ils ne le sont pas ) du plan $(IJK)$.
      Il est donc normal à ce plan.
      $\quad$
    3. En déduire une équation cartésienne du plan (IJK).
    4. Par conséquent une équation du plan $(IJK)$ est de la forme
      $$x+y+z+d=0$$
      Le point $I$ appartient à ce plan. Ces coordonnées vérifient donc son équation cartésienne.
      Ainsi $1+0+0,5+d=0$ donc $d=-1,5$.
      Une équation cartésienne de $(IJK)$ est donc $x+y+z-1,5=0$.
      $\quad$
  3. On désigne par $M$ un point du segment [AG] et $t$ le réel de l'intervalle [0~;~1] tel que $\vec{\text{A}M} = t\vec{\text{AG}}$.
    1. Démontrer que $M\text{I}^2 = 3t^2 - 3t + \dfrac{5}{4}$.
    2. Puisque $\vec{AM}=t\vec{AG}$ cela signifie que $\vec{AM}(t;t;t)$.
      Ainsi $M$ a pour coordonnées $(t;t;t)$.
      $\begin{align*} MI^2&=(t-1)^2+t^2+(t-0,5)^2 \\
      &=t^2-2t+1+t^2+t^2-t+0,25 \\
      &=3t^2-3t+1,25\\
      &=3t^2-3t+\dfrac{5}{4}
      \end{align*}$
    3. Démontrer que la distance $M$I est minimale pour le point $M\left(\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{1}{2}\right)$.
    4. On appelle $f$ la fonction définie sur $[0;1]$ par $f(t)=3t^2-3t+\dfrac{5}{4}$.
      Puisque $a=3>0$, cette fonction du second degré admet un minimum pour $t=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}$.
      Par conséquent, le point de $[AG]$ associé à cette valeur est $N\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}\right)$.
      $\quad$
      En vidéo !
  4. Démontrer que pour ce point $M\left(\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{1}{2}\right)$ :
    1. $M$ appartient au plan (IJK).
    2. Regardons si les coordonnées du point $N$ vérifient l’équation cartésienne du plan $(IJK)$.
      $\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-1,5=0$.
      Donc $N$ appartient bien à $(IJK)$.
      $\quad$
    3. La droite (I$M$) est perpendiculaire aux droites (AG) et (BF).
    4. $\vect{IN}\left(-\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2};0\right)$.
      On a $\vect{AG}(1;1;1)$ donc $\vect{IN}.\vect{AG}=-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}+0=0$.
      $\vect{BF}(0;0;1)$ donc $\vect{IN}.\vect{BF}=0+0+0=0$.
      Ainsi $\vect{IN}$ est orthogonal à $\vect{AG}$ et $\vect{BF}$.
      $N$ appartient à $(IN)$ et $(AG)$ donc ces deux droites sont perpendiculaires.
      $I$ appartient à $(IN)$ et $(BF)$ donc ces deux droites sont également perpendiculaires.
      $\quad$

 

Exercice 4
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