Baccalauréat S Amérique du Sud 22 novembre 2016 - Correction Spécialité

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Correction de l'exercice de Spécialité 5 points

Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Les entiers naturels 1, 11, 111, 1111 , $\ldots$ sont des rep-units. On appelle ainsi les entiers naturels ne s'écrivant qu'avec des 1. Pour tout entier naturel $p$ non nul, on note $N_p$ le rep-unit s'écrivant avec $p$ fois le chiffre 1 : \[N_p = \underbrace{11 \ldots 1}_{\begin{array}{c}\tiny p {} \text{répétitions} \\ \tiny \text{du chiffre }1 \end{array}} = \displaystyle\sum_{k=0}^{k=p-1} 10^k.\] Dans tout l'exercice, $p$ désigne un entier naturel non nul. L'objet de cet exercice est d'étudier quelques propriétés des rep-units.

Partie A : divisibilité des rep-units dans quelques cas particuliers

 

1. Montrer que $N_p$ n'est divisible ni par 2 ni par 5.
Le chiffre des unités de $N_p$ est $1$.
Un nombre est divisible par $2$ si son chiffre des unités est pair.
Un nombre est divisible par $5$ si son chiffre des unités est $0$ ou $5$.
Par conséquent $N_p$ n’est divisible ni par $2$ ni par $5$.

2. Dans cette question, on étudie la divisibilité de $N_p$ par 3.
   1. Prouver que, pour tout entier naturel $j$, $10^j \equiv 1 \:\:\text{mod } 3$.
   $10\equiv 1$ mod $3$ donc pour tout entier naturel $j$ on a $10^j \equiv 1$ mod $3$.
   $\quad$
   
   2. En déduire que $N_p \equiv p \:\:\text{mod } 3$.
   $\displaystyle \sum_{k=0}^{k=p-1} 10^k \equiv \sum_{k=0}^{k=p-1} 1$ mod $3$ $\equiv p$ mod $3$.
   $\quad$
   
   3. Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour que le rep-unit $N_p$ soit divisible par 3.
   $N_p$ est divisible par $3$ si, et seulement si, $p$ mod $3 = 0$ c’est-à-dire si, et seulement si, $p$ est un multiple de $3$.
3. Dans cette question, on étudie la divisibilité de $N_p$ par $7$.
   1. Recopier et compléter le tableau de congruences ci-dessous, où $a$ est l'unique entier relatif appartenant à $\{-3~;~-2~;~- 1~;~0~;~1~;~2~;~3\}$ tel que $10^m \equiv a \:\:\text{mod}\: \:7$.
      On ne demande pas de justification. $$\begin{array} {|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline m &0 &1 &2 &3 &4 &5 &6\\ \hline a & & & & & & &\\ \hline \end{array}$$
   $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline m&0&1&2&3&4&5&6 \\ \hline a&1&3&2&-1&-3&-2&1\\ \hline \end{array}$$
   $\quad$
   
   2. Soit $p$ un entier naturel non nul. Montrer que $10^p \equiv 1 \:\:\text{mod}\: 7$ si et seulement si $p$ est un multiple de $6$.
      On pourra utiliser la division euclidienne de $p$ par $6$.
   
   On a $p=6q+r$ ou $q$ est un entier relatif et $q$ un entier naturel strictement inférieur à $6$.
   Ainsi $10^p=\left(10^6\right)^q\times 10^r \equiv 1^q\times 10^r$ mod $7$.
   D’après le tableau précédent $10^p\equiv 1$ mod $7$ si, et seulement si, $p=0$ ou $p=6$.
   Ainsi $10^p \equiv 1$ mod $7$ si, et seulement si, $r=0$ c’est-à-dire si, et seulement si, $p$ est un multiple de $6$.
   $\quad$
   
   3. Justifier que, pour tout entier nature $p$ non nul, $N_p = \dfrac{10^p - 1}{9}$.
   Pour tout entier naturel $p$ non nul, $N_p$ est la somme des $p$ premiers termes de la suite géométrique de premier terme $1$ et de raison $10$.
   Ainsi $N_p=\dfrac{1-10^p}{1-10}=\dfrac{10^p-1}{9}$.
   $\quad$
   4. Démontrer que « 7 divise $N_p$ » est équivalent à « 7 divise $9N_p$ ».
   $7$ et $9$ sont premiers entre eux donc, d’après le théorème de Gauss, $7$ divise $N_p$ est équivalent à $7$ divise $9N_p$.
   $\quad$
   
   5. En déduire que $N_p$ est divisible par 7 si et seulement si $p$ est un multiple de 6.
   $\begin{align*} N_p \equiv 0 \text{ mod } 7&\iff 9N_p\equiv 0 \text{ mod } 7 \\ &\iff 10^p-1 \equiv 0 \text{ mod } 7 \\ &\iff 10^p \equiv 1 \text{ mod } 7\\ &\iff p \equiv 0 \text{ mod } 6
   \end{align*}$
   Donc $N_p$ est divisible par $7$ si, et seulement si, $p$ est un multiple de $6$.

 

Partie B : un rep-unit strictement supérieur à 1 n'est jamais un carré parfait

 

1. Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à $2$. On suppose que l'écriture décimale de $n^2$ se termine par le chiffre 1, c'est-à-dire $n^2 \equiv 1 \:\:\text{mod}\: 10$.
   1. Recopier et compléter le tableau de congruences ci-dessous. $$ \begin{array}{| c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline n \equiv \ldots \ \ [10] & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 &5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ \hline n^2 \equiv \ldots \ \ [10] &&&&&&&&&&\\ \hline \end{array} $$
   $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline
   n\equiv \ldots ~[10]&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9 \\ \hline n^2=\ldots ~[10]&0&1&4&9&6&5&6&9&4&1\\ \hline \end{array}$$
   
   2. En déduire qu'il existe un entier naturel $m$ tel que: $n = 10m + 1$ ou $n = 10m - 1$.
   Le chiffre des unités de $n^2$ se termine par le chiffre $1$ si, et seulement si, le chiffre des unités de $n$ se termine par $1$ ou par $9$.
   Or $9\equiv -1$ mod $10$
   Cela signifie donc qu’il existe un entier naturel $m$ tel que $n=10m+1$ ou $n=10m-1$.
   
   3. Conclure que $n^2 \equiv 1 \:\: \text{mod}\: 20$.
   Si $n=10m+1$ alors $n^2=100m^2+20m+1 \equiv 1$ mod $20$.
   Si $n=10m-1$ alors $n^2=100m^2-20m+1\equiv 1$ mod $20$.
   Dans tous les cas $n^2\equiv 1$ mod $20$.
   $\quad$
2. Soit $p$ un entier naturel supérieur ou égal à 2. Quel est le reste de la division euclidienne de $N_p$ par 20 ?
Si $n\geq 2$ alors $N_p=\underbrace{11\ldots 1}_{p-2 \text{ fois}}00+11=100\displaystyle \sum_{k=2}^{k=p-1}10^{k-2}+11 \equiv 11$ mod $20$
$\quad$
3. En déduire que, pour $p$ entier naturel supérieur ou égal à 2, le rep-unit $N_p$ n'est pas le carré d'un entier.
D’après la question B.1.c. si $n^2 \equiv 1$ mod $10$ alors $n^2 \equiv 1$ mod $20$.
Or $N_p\equiv 1$ mod $10$ et $N_p \equiv 11$ mod $20$.
Donc $N_p$ n’est pas le carré d’un entier.