Baccalauréat S Amérique du Sud 22 novembre 2016 - Correction Exercice 4

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Correction de l'exercice 4 5 points

Commun à tous les candidatsCandidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Partie A : un calcul de volume sans repère

On considère une pyramide équilatère SABCD (pyramide à base carrée dont toutes les faces latérales sont des triangles équilatéraux) représentée ci-contre. Les diagonales du carré ABCD mesurent 24 cm. On note O le centre du carré ABCD. On admettra que OS = OA.

1. Sans utiliser de repère, démontrer que la droite (SO) est orthogonale au plan (ABC).
Les diagonales d’un carré sont de même longueur et se coupent en leur milieu.
Par conséquent le triangle $AOB$ est rectangle et $OS=OA=OB$.
Les faces latérales de la pyramide sont des triangles équilatéraux. Par conséquent $AS=AB=BC$.
Dans le triangle $AOB$ rectangle en $O$ on applique le théorème de Pythagore :
$AB^2=AO^2+OB^2 \iff AS^2=OS^2+OA^2$
Ainsi, d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $AOS$ est rectangle en $O$.
On montre de la même façon que le triangle $OSB$ est rectangle en $O$.
La droite $(OS)$ est donc perpendiculaire à deux droites sécantes, $(OA)$ et $(OB)$, du plan $(ABC)$ : elle est orthogonale au plan $(ABC)$.
$\quad$
2. En déduire le volume, en cm$^3$, de la pyramide SABCD.
On a $OA=\dfrac{24}{2}=12$ cm.
En reprenant le calcul du théorème de Pythagore dans le triangle $AOB$ de la question précédente on a :
$\begin{align*} AB^2&=AO^2+OB^2 \\ &=12^2+12^2 \\ &=288
\end{align*}$
Par conséquent l’aire du carré $ABCS$ est $\mathscr{A}=AB^2=288$ cm$^2$.
Et le volume de la pyramide $SABCD$ est :
$\mathscr{V}=\dfrac{\mathscr{A}\times SO}{3}=\dfrac{288 \times 12}{3}=1~152$ cm$^3$.
$\quad$

Partie B : dans un repère

On considère le repère orthonormé $\left(\text{O}~;~\vec{\text{OA}},~ \vec{\text{OB}}, ~\vec{\text{OS}}\right)$.

1. On note P et Q les milieux respectifs des segments [AS] et [BS].
   1. Justifier que $\vec{n}(1~;~1~;~- 3)$ est un vecteur normal au plan (PQC).
   Dans le repère orthonormé $\left(O;\vec{OA},\vec{OB},\vec{OS}\right)$ on a :
   $O(0,0,0)$, $A(1,0,0)$, $B(0,1,0)$ et $S(0,0,1)$.
   Les points $P$ et $Q$ sont les milieux respectifs des segments $[AS]$ et $[BS]$.
   Ainsi $P\left(\dfrac{1}{2},0,\dfrac{1}{2}\right)$ et $Q\left(0,\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2}\right)$.
   On a également $C(-1,0,0)$ car $\vec{OC}=-\vec{OA}$
   Donc $\vec{PQ}\left(-\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2},0\right)$
   et $\vec{PC}\left(-\dfrac{3}{2},0,-\dfrac{1}{2}\right)$
   Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires car ils n’ont pas la même coordonnée nulle.
   Calculons les produits scalaires :
   $\vec{n}.\vec{PQ}=-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-3\times 0 = 0$.
   $\vec{n}.\vec{PC}=-\dfrac{3}{2}-3\times \left(-\dfrac{1}{2}\right)=0$.
   Le vecteur $\vec{n}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(PQC)$ : il est donc normal à ce plan.
   $\quad$
   
   2. En déduire une équation cartésienne du plan (PQC).
   Une équation cartésienne du plan $(PQC)$ est donc de la forme $x+y-3z+d=0$.
   Le point $C$ appartient à ce plan: ses coordonnées vérifient donc cette équation.
   Ainsi $-1+0+0+d=0$ soit $d=1$.
   Une équation cartésienne du plan $PQC$ est donc $x+y-3z+1=0$.
2. Soit H le point du plan (PQC) tel que la droite (SH) est orthogonale au plan (PQC).
   1. Donner une représentation paramétrique de la droite (SH).
   $\vec{n}$ est un vecteur directeur de la droite $(SH)$.
   Une représentation paramétrique de la droite $(SH)$ est donc :
   $\begin{cases} x=t\\y=t \quad t \in \mathbb R\\z=1-3t\end{cases}$
   $\quad$
   
   2. Calculer les coordonnées du point H.
   Le point $H$ est le point d’intersection du plan $(PQC)$ et de la droite $(SH)$.
   Ces coordonnées vérifient donc les équations de la droite et du plan.
   On a donc :
   $\begin{cases} x=t\\y=t\\z=1-3t\\x+y-3z+1=0\end{cases}$
   Par conséquent $t+t-3(1-3t)+1=0$
   Soit $2t-3+9t+1=0$ d’où $11t=2$ et donc $t=\dfrac{2}{11}$.
   Les coordonnées du point $H$ sont donc $\left(\dfrac{2}{11};\dfrac{2}{11};\dfrac{5}{11}\right)$.
   $\quad$
   
   3. Montrer alors que la longueur SH, en unité de longueur, est $\dfrac{2\sqrt{11}}{11}$.
   Ainsi :
   $\begin{align*} SH&=\sqrt{\left(\dfrac{2}{11}\right)^2+\left(\dfrac{2}{11}\right)^2+\left(\dfrac{5}{11}-1\right)^2} \\ &=\sqrt{\dfrac{4}{121}+\dfrac{4}{121}+\dfrac{36}{121}} \\ &=\sqrt{\dfrac{44}{121}}\\ &=\dfrac{2\sqrt{11}}{11} \end{align*}$
   $\quad$
3. On admettra que l'aire du quadrilatère PQCD, en unité d'aire, est égale à $\dfrac{3\sqrt{11}}{8}$ Calculer le volume de la pyramide SPQCD, en unité de volume.
Le volume de la pyramide $SPQCD$ est :
$\begin{align*} \mathscr{V}_1&=\dfrac{\dfrac{3\sqrt{11}}{8}\times \dfrac{2\sqrt{11}}{11}}{3} \\ &=\dfrac{1}{4}
\end{align*}$
Le volume de cette pyramide est donc de $0,25$ unité de volume.
$\quad$

Partie C : partage équitable

Pour l'anniversaire de ses deux jumelles Anne et Fanny, Madame Nova a confectionné un joli gâteau en forme de pyramide équilatère dont les diagonales du carré de base mesurent 24 cm. Elle s'apprête à le partager en deux, équitablement, en plaçant son couteau sur le sommet. C'est alors qu'Anne arrête son geste et lui propose une découpe plus originale : «Place la lame sur le milieu d'une arête, parallèlement à un côté de la base, puis coupe en te dirigeant vers le côté opposé ».

Fanny a des doutes, les parts ne lui semblent pas équitables. Est-ce le cas ? Justifier la réponse.

La découpe proposée par Anne revient à obtenir la pyramide $SPQCD$ de la partie précédente.

Le volume, en cm$^3$, de cette pyramide est donné par $12^3\times 0,25=432$ cm$^3$.

Ainsi $\dfrac{432}{1~152}\approx 0,37 \neq 0,5$.

Le partage ne sera donc pas équitable.
$\quad$