Baccalauréat S Centres étrangers 10 juin 2015 - Correction Exercice 2

Page 4 sur 10: Correction Exercice 2

Correction de l'exercice 2 (4 points)


Commun à tous les candidats


Pour chacune des quatre affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.
Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée.
Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte. Une absence de réponse n'est pas pénalisée.

  1. Dans le plan muni d'un repère orthonormé, on note $S$ l'ensemble des points $M$ dont l'affixe $z$ vérifie les deux conditions : \[|z - 1| = |z - \text{i}|\quad \text{et} \quad |z - 3 - 2\text{i}| \leqslant 2.\]
    Sur la figure ci-contre, on a représenté le cercle de centre le point de coordonnées (3 ; 2) et de rayon 2, et la droite d'équation $y = x$. Cette droite coupe le cercle en deux points A et B.

    1. Affirmation 1 : l'ensemble $S$ est le segment [AB].
    2. L’ensemble des points $M(z)$ vérifiant $|z-1| = |z-\text{i}|$ est la médiatrice du segment $[CD]$ avec $C(1)$ et $D(\text{i})$. Il s’agit donc de la droite d’équation $y=x$.
      En effet  $$\begin{array}{rl} |z-1| = |z-\text{i}|&\iff |z_M-z_C| = |z_M-z_D|\\ &\iff CM = DM\\ &\iff M \text{ est équidistanrt de } C \text { et } D\\ \end{array}$$
      L’ensemble des points vérifiant $|z – 3 – 2\text{i}| \le 2$ est le disque ce centre $E(3;2)$ et de rayon $2$ .
      $$\begin{array}{rl} |z – 3 – 2\text{i}| \le 2&\iff |z_M-z_E| \le 2\\ &\iff EM \le 2\\ &\iff M \text{ est sur le disque ce centre } E(3;2) \text{et de rayon } 2 \\ \end{array}$$
      L’ensemble $S$ est donc l’intersection de cette droite et de ce disque.
      Il s’agit donc bien du segment $[AB]$.
      Affirmation 1 : vraie
      $\quad$
    3. Affirmation 2 : le nombre complexe $\left(\sqrt{3} +\text{i}\right)^{ 1515 }$ est un réel.
    4. $\left|\sqrt{3} + \text{i}\right| = \sqrt{3 + 1} = 2$.
      Ainsi
      $$\begin{array}{rl} \sqrt{3} + \text{i} &= 2 \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{\text{i}}{2}\right) \\ &= 2\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6}}
      \end{array}$$
      Ainsi
      $$\begin{array} {rl} \left(\sqrt{3}+\text{i}\right)^{1515} &= 2^{1515}\text{e}^{\text{i}\frac{1515pi}{6}} \\ &=2^{1515}\text{e}^{252,5\text{i}\pi} \end{array}$$
      Or $252,5\pi$ n’est pas un multiple entier de $2\pi$. Par conséquent $ \text{e}^{252,5\text{i}\pi}$ n’est pas un nombre réel.
      Affirmation 2 : fausse
      $\quad$

    Pour les questions 3 et 4, on considère les points E (2 ; 1 ; - 3), F (1 ; -1 ; 2) et G (-1 ; 3 ; 1) dont les coordonnées sont définies dans un repère orthonormé de l'espace.
  2. Affirmation 3 : une représentation paramétrique de la droite (EF) est donnée par: \[\left\{\begin{array}{l c r} x&=&2t\\ y&=&-3 + 4t\\ z&=&7-10t \end{array}\right., t\: \in \mathbb R.\]
  3. Si on prend $t = 1$ alors le système nous donne :
    $\begin{cases} x=2 \times 1 = 2 \\\\y=-3 + 4\times 1 = 1 \\\\z= 7 – 10 \times 1 = -3\end{cases}$
    On obtient les coordonnées de $E$.
    $\quad$
    Si on prend $t = 0,5$ alors le système nous donne :
    $\begin{cases} x=2 \times 0,5 = 1 \\\\y=-3 + 4\times 0,5 = -1 \\\\z= 7 – 10 \times 0,5 = 2\end{cases}$
    On obtient les coordonnées de $F$.
    Il s’agit donc bien d’une représentation paramétrique de la droite $(EF)$.
    Affirmation 3 : vraie
    $\quad$
  4. Affirmation 4 : une mesure en degré de l'angle géométrique $\widehat{\text{FEG}}$, arrondie au degré, est 50 °.
  5. $\vec{EF}(-1;-2;5)$ et $\vec{EG}(-3;2;4)$.
    Ainsi $\vec{EF}.\vec{EG} = 3 – 4 + 20 = 19$.
    $\quad$De plus $EF = \sqrt{1 + 4 + 25} = \sqrt{30}$ et $EG=\sqrt{9 + 4 + 16} = \sqrt{29}$.
    Donc $\vec{EF}.\vec{EG} = \sqrt{30} \times \sqrt{29} \times \cos \left(\vec{EF},\vec{EG}\right) $
    Par conséquent $\cos \left(\vec{EF},\vec{EG}\right) = \dfrac{19}{\sqrt{30} \times \sqrt{29}}$
    D’où $\cos \widehat{EFG} \approx 49,90° \approx 50°$.
    Affirmation 4 : vraie
    $\quad$

 

Exercice 3
Page
  • Vues: 36374

Rechercher