Baccalauréat S Centres étrangers 10 juin 2015 - Correction Spécialité

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Correction de l'exercice de Spécialité 5 points

Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Dans cet exercice, on s'intéresse aux triplets d'entiers naturels non nuls $(x,~y,~z)$ tels que \[x ^2 + y^2 = z^2.\] Ces triplets seront nommés « triplets pythagoriciens » en référence aux triangles rectangles dont ils mesurent les côtés, et notés en abrégé « TP ». Ainsi (3, 4, 5) est un TP car $3^2 +4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$.

Partie A : généralités

 

1. Démontrer que, si $(x,~y,~z)$ est un TP, et $p$ un entier naturel non nul, alors le triplet $(px,~py,~pz)$ est lui aussi un TP.
Soient $(x,y,z)$ est un TP et $p$ est un entier naturel non nul.
Alors
$\begin{array}{rl} (px)^2 + (py)^2 &= p^2(x^2+y^2) \\ &= p^2z^2 \\ &= (pz)^2
\end{array}$
Donc $(px,py,pz)$ est également un TP.

2. Démontrer que, si $(x,~y,~z)$ est un TP, alors les entiers naturels $x$, $y$ et $z$ ne peuvent pas être tous les trois impairs.
Supposons que les trois entiers naturels $x$, $y$ et $z$ soient impairs .
Soit $n$ un entier naturel, alors $(2n+1)^2 = 4n+ 4n + 1 \equiv 1~[2]$.
Ainsi $x^2 \equiv 1 ~[2]$ et $y^2 \equiv 1 ~[2]$ donc $x^2 + y^2 \equiv 0 ~[2]$.
Or $z^2 \equiv 1 ~[2]$.
On ne peut donc pas avoir $x^2+y^2 = z^2$.
$x$, $y$ et $z$ ne peuvent donc pas être tous les trois impairs.

3. Pour cette question, on admet que tout entier naturel non nul $n$ peut s'écrire d'une façon unique sous la forme du produit d'une puissance de 2 par un entier impair : $n = 2^{\alpha} \times k$ où $\alpha$ est un entier naturel (éventuellement nul) et $k$ un entier naturel impair. L'écriture $n = 2^{\alpha} \times k$ est nommée décomposition de $n$. Voici par exemple les décompositions des entiers 9 et 120 : $9 = 2^{0} \times 9,\quad 120 = 2^3 \times 15$.
   1. Donner la décomposition de l'entier $192$.
   $192 = 2^6 \times 3$.
   
   2. Soient $x$ et $z$ deux entiers naturels non nuls, dont les décompositions sont $x = 2^{\alpha} \times k$ et $z=2^{\beta} \times m$. Écrire la décomposition des entiers naturels $2 x^2$ et $z^2 $.
   D’après la question précédente, on a vu que le carré d’un nombre impair est impair également.
   $x^2 = 2^{2\alpha}\times k^2 $ donc $2x^2 = 2^{2\alpha + 1} \times k^2$
   $z^2 = 2^{2\beta} \times m^2$
   
   3. En examinant l'exposant de 2 dans la décomposition de $2x^2$ et dans celle de $z^2$ , montrer qu'il n'existe pas de couple d'entiers naturels non nuls $(x,~z)$ tels que $2x^2 = z^2$.
   Si $2x^2 = z^2$ alors $2^{2\alpha + 1} \times k^2 = 2^{2\beta} \times m^2$.
   Par conséquent $2\alpha + 1 = 2\beta$ soit $2(\beta – \alpha) = 1$. Ce qui impossible car $2(\beta – \alpha)$ est pair et $1$ impair.
   Il n’existe donc pas d’entiers naturels non nuls $(x,y)$ tels que $2x^2=z^2$.
   On admet que la question A - 3. permet d'établir que les trois entiers naturels $x$, $y$ et $z$ sont deux à deux distincts. Comme de plus les entiers naturels $x,~y$ jouent un rôle symétrique, dans la suite, pour tout TP $(x,~y,~z)$, les trois entiers naturels $x$, $y$ et $z$ seront rangés dans l'ordre suivant: \[x < y < z.\]

 

Partie B : recherche de triplets pythagoriciens contenant l'entier 2015

 

1. Décomposer en produit de facteurs premiers l'entier 2015 puis, en utilisant le TP donné dans le préambule, déterminer un TP de la forme $(x,~y,~2015)$.
$2015 = 5 \times 13 \times 31$. Et $13 \times 31 = 403$
Le triplet $(3,4,5)$ est un TP. Par conséquent le triplet $(3 \times 403,4 \times 403, 5 \times 403)$ est également un TP.
Ainsi le triplet $(1209,1612,2015)$ est un TP.

2. On admet que, pour tout entier naturel $n$ , $(2n + 1)^2 + \left(2n^2 + 2n\right)^2 = \left(2n^2 + 2n + 1\right)^2$. Déterminer un TP de la forme $(2015,~ y,~ z )$.
3. $2015 = 2 \times 1007 + 1$.
   Ainsi le triplet $(2015,2\times 1007^2 + 2\times 1007, 2\times 1007 + 2\times 1007 + 1)$ est un TP soit $(2015,2~030~112,2~030~113)$ .
   
   1. En remarquant que $403^2 =169 \times 961$, déterminer un couple d'entiers naturels non nuls $(x,~z)$ tels que : $z^2 - x^2 = 403^2$, avec $x < 403$.
   On a $z^2-x^2 = (z-x)(z+x)$.
   Par conséquent, on cherche les valeurs de $x$ et $z$ telles que :
   $(z-x)(z+x) = 169 \times 961$.
   Regardons s’il est possible de résoudre le système :
   $$\begin{array}{rl} \begin{cases} z-x = 169 \\\\z+x = 961 \end{cases} &\iff \begin{cases} z=169+x \\\\169+2x=961 \end{cases} \\ & \iff \begin{cases} x= 396 \\\\z=565 \end{cases} \end{array}$$
   Ainsi le couple $(396,565)$ convient.
   
   2. En déduire un TP de la forme $(x,~ 2015,~z)$.
   Le triplet $(396,403,565)$ est un TP.
   Donc $(5 \times 396,5 \times 403, 5 \times 565)$ est également un TP.
   Soit $(1980,2015,2825)$ est un TP.