Baccalauréat S Centres étrangers 10 juin 2015 - Correction Exercice 3

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Correction de l'exercice 3 (5 points)

Commun à tous les candidats

Suites

Soit $a$ un nombre réel fixé non nul. Le but de cet exercice est d'étudier la suite $\left(u_n\right)$ définie par: \[u_0 = a\quad \text{et, pour tout}\: n\: \text{de}\:\: \mathbb N,\quad u_{n+1} = \text{e}^{2u_n} - \text{e}^{u_n}.\] On remarquera que cette égalité peut aussi s'écrire : $u_{n+1} = \text{e}^{u_n}\left(\text{e}^{u_n} - 1\right)$.

1. Soit $g$ la fonction définie pour tout réel $x$ par : \[g(x) = \text{e}^{2x} - \text{e}^{x} - x.\]
   1. Calculer $g '(x)$ et prouver que, pour tout réel $x $ : $g'(x) = \left(\text{e}^{x} - 1\right)\left(2\text{e}^{x} + 1\right)$.
   La fonction $g$ est dérivable sur $\mathbb R$ en tant que somme de fonctions dérivable sur $\mathbb R$.D’une part : $g'(x) = 2\text{e}^{2x} – \text{e}^x – 1$.
   D’autre part : $$\begin{array}{rl} \left(\text{e}^x – 1\right)\left(2\text{e}^x + 1\right) &= 2\text{e}^{2x} + \text{e}^x – 2\text{e}^x – 1 \\ &= 2\text{e}^{2x} – \text{e}^x – 1\end{array}$$ Donc $g'(x) = \left(\text{e}^x – 1\right)\left(2\text{e}^x + 1\right)$
   2. Déterminer les variations de la fonction $g$ et donner la valeur de son minimum.
   La fonction exponentielle étant toujours positive, on en déduit que $2\text{e}^x + 1 > 0$. Le signe de $g'(x)$ ne dépend donc que de celui de $\text{e}^x – 1$.
   Or $\text{e}^x – 1 \ge 0 \iff \text{e}^x \ge 1 \iff x \ge 0$.La fonction $g$ est donc décroissante sur $]-\infty;0]$ et croissante sur $[0;+\infty[$. Elle admet un minimum pour $x=0$ et son minimum est $g(0) = 0$.
   3. En remarquant que $u_{n+1} - u_n = g\left(u_n\right)$, étudier le sens de variation de la suite $\left(u_n\right)$.
   $$\begin{array}{rl} u_{n+1} – u_n &= e^{u_n}\left(\text{e}^{u_n} – 1\right) – u_n\\ &= e^{2u_n} – e^{u_n} – u_n \\ &= g\left(u_n\right) \end{array}$$D’après la question précédente, on peut donc dire que, pour tout réel $x$, on a $g(x) \ge 0$.Par conséquent $u_{n+1} – u_n \ge 0$.La suite $(u_n)$ est donc croissante.
   
   4. Dans cette question, on suppose que $a \leqslant 0$.
   5. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $u_n \leqslant 0$.
   Initialisation : $n=0$ alors $u_0 =a \le 0$
   La propriété est vraie au rang $0$.
   Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $u_n \le 0$.
   $u_{n+1} = \text{e}^{u_n}\left(\text{e}^{u_n} – 1\right)$.
   La fonction exponentielle est toujours positive.
   Puisque $u_n \le 0$ alors $e^{u_n} \le 0$. Donc $\text{e}^{u_n} – 1 \le 0$.
   Par conséquent $u_{n+1} \le 0$.
   La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
   Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et elle est héréditaire.
   Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a : $u_n \le 0$.
   6. Déduire des questions précédentes que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
   La suite $(u_n)$ est croissante et majorée par $0$. Elle est donc convergente.
   
   
   1. Dans le cas où $a$ vaut $0$, donner la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
   Si $a=0$ alors $u_0 = 0$.
   
   
   La suite $(u_n)$ est croissante, majorée par $0$ et $u_0 = 0$. Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, $u_n = 0$.
   
   
   La suite $(u_n)$ est donc constante et sa limite est $0$.
   
   
   $\quad$
2. Dans cette question, on suppose que $a > 0$. La suite $\left(u_n\right)$ étant croissante, la question 1. permet d'affirmer que, pour tout entier naturel $n$, $u_n\geqslant a$.
   1. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n+1} - u_n \geqslant g(a)$.
   D’après la question
   1.c.
   on a $u_{n+1} – u_n = g\left(u_n\right)$.
   
   
   Pour tout entier naturel $n$, on a $u_n \ge a \ge 0$.
   
   
   La fonction $g$ est croissante sur $[0;+\infty[$, par conséquent $g(u_n) \ge g(a)$.
   
   
   Ainsi $u_{n+1} – u_n \ge g(a)$.
   
   
   $\quad$
   
   
   1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n \geqslant a + n \times g(a)$.
   Initialisation :
   Si $n=0$ alors $u_0 = a$ et $a + 0\times g(a) = a$.
   
   
   La propriété est donc vraie au rang $0$.
   
   
   $\quad$
   
   Hérédité :
   Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $u_n \ge a + n \times g(a)$.
   
   
   $$\begin{array}{rl} u_{n+1} – u_n \ge g(a) & \iff u_{n+1} \ge u_n + g(a) \\ & \iff u_{n+1} \ge a + n \times g(a) + g(a) \\ & \iff u_{n+1} \ge a + (n+1) \times g(a) \end{array}$$
   
   
   La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
   
   
   $\quad$
   
   Conclusion :
   La propriété est vraie au rang $0$ et héréditaire.
   
   
   Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, on a $u_{n} \ge a + n \times g(a)$.
   
   
   $\quad$
   
   
   1. Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
   Puisque $a >0$, on a $g(a) \ge 0$. Ainsi $\lim\limits_{n \to +\infty} n \times g(a) = +\infty$.
   
   
   Par conséquent $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = +\infty$.
   
   
   $\quad$
3. Dans cette question, on prend $a = 0,02$. L'algorithme suivant a pour but de déterminer le plus petit entier $n$ tel que $u_n > M$, où $M$ désigne un réel positif. Cet algorithme est incomplet. $$ \begin{array}{|r|l|} \hline \text{Variables}& n \text{ est un entier ,} u \text{ et } M \text{sont deux réels }\\ \hline & u \text{ prend la valeur } 0,02 \\ \text{Initialisation}& n \text{ prend la valeur } 0\\ &\text{ Saisir la valeur de } M \\ \hline \text{ Traitement}& \text{ Tant que } \ldots\\ &\ldots\\ &\ldots\\ &\text{ Fin tant que } \\ \hline \text{Sortie}& \text{ Afficher } n \\ \hline \end{array} $$
   1. Sur la copie, recopier la partie « Traitement » en la complétant.
   Tant que $u \le M$
   
   
   $\quad$ $u$ prend la valeur $\text{e}^u\left(\text{e}^u – 1\right)$
   
   
   $\quad$ $n$ prend la valeur $n+1$
   
   
   Fin Tant que
   
   
   $\quad$
   
   
   1. À l'aide de la calculatrice, déterminer la valeur que cet algorithme affichera si $M = 60$.
   Si $M=60$ alors l’algorithme  affiche $36$
   
   
   $\quad$
   
   

Une figure interactive :