Baccalauréat S Centres étrangers 10 juin 2015 - Correction Exercice 4

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Correction de l'exercice 4 5 points

Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Les parties A et B sont indépendantes
Le fabricant de cadenas de la marque « K » désire imprimer un logo pour son entreprise.
Ce logo a la forme d'une lettre majuscule K stylisée, inscrite dans un carré ABCD, de côté une unité de longueur, et respectant les conditions C1 et C2 suivantes:
$\bullet~~$Condition C1 : la lettre K doit être constituée de trois lignes :

• une des lignes est le segment [AD] ;
• une deuxième ligne a pour extrémités le point A et un point E du segment [DC] ;
• la troisième ligne a pour extrémité le point B et un point G situé sur la deuxième ligne.

$\bullet~~$Condition C2 : l'aire de chacune des trois surfaces délimitées par les trois lignes dessinées dans h le carré doit être comprise entre $0,3$ et $0,4$, l'unité d'aire étant celle du carré. Ces aires sont notées $r$, $s$, $t$ sur les figures ci-après.
Un atelier de design propose deux dessins possibles, représentés ci-dessous:

Pour mener les études qui suivent, on se place dans le repère orthonormé $\left(\text{A}~;~\vec{\text{AB}},~\vec{\text{AD}}\right)$.

Partie A : étude de la proposition A

L’aire du triangle $ADE$ est donnée par $\dfrac{AD \times DE}{2}$. Or $AD = 1$
Par conséquent $\dfrac{DE}{2} = \dfrac{1}{3}$. D’où $DE = \dfrac{2}{3}$.
Ainsi le point $E$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{2}{3};1\right)$

$\quad$

On appelle $G’$ le pied de la hauteur issue de $G$ dans le triangle $AGB$.
Son aire est $\dfrac{GG’ \times AB}{2}$. Avec $AB = 1$
Par conséquent $\dfrac{GG’}{2} = \dfrac{1}{3}$.
Donc $GG’ = \dfrac{2}{3}$

La droite $(AE)$ a pour équation $y=\dfrac{3}{2}x$.
L’abscisse $x$ du point $G$ vérifie donc l’équation $\dfrac{2}{3}=\dfrac{3}{2}x$.
Donc $x = \dfrac{4}{9}$.
Par conséquent le point $G$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{4}{9};\dfrac{2}{3}\right)$

$\quad$

Partie B : étude de la proposition B

Cette proposition est caractérisée par les deux modalités suivantes:
$\bullet~~$la ligne d'extrémités A et E est une portion de la représentation graphique de la fonction $f$ définie pour tout réel $x \geqslant 0$ par : $f(x) = \ln (2x + 1)$ ;
$\bullet~~$la ligne d'extrémités B et G est une portion de la représentation graphique de la fonction $g$ définie pour tout réel $x > 0$ par : $g(x) = k\left(\dfrac{1 - x}{x}\right)$, où $k$ est un réel positif qui sera déterminé.

1. 1. Déterminer l'abscisse du point E.
   L’abscisse $x$ du point $E$ vérifie :
   $$\begin{array}{rl} \ln(2x+1) = 1 &\iff 2x + 1 = \text{e} \\ &\iff 2x =\text{e} – 1 \\ &\iff x=\dfrac{\text{e} – 1}{2} \end{array}$$
   $\quad$
   
   2. Déterminer la valeur du réel $k$, sachant que l'abscisse du point G est égale à $0,5$.
   Le point $G$ appartient à la courbe représentative de la fonction $f$.
   Ainsi son ordonnée est :
   $$ y=\ln (2 \times 0,5 + 1) = \ln 2$$.
   Par conséquent
   $$\begin{array}{rl} g(0,5) = \ln 2 & \iff k \left(\dfrac{1 – 0,5}{0,5}\right) = \ln 2 \\ & \iff k = \ln 2 \end{array}$$
   $\quad$
2. 1. Démontrer que la fonction $f$ admet pour primitive la fonction $F$ définie pour tout réel $x \geqslant 0$ par : \[F(x) = (x + 0,5) \times \ln (2x + 1) - x.\]
   La fonction $F$ est dérivable sur $[0;+\infty[$ en tant que produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
   $$\begin{array}{rl} F'(x) &= \ln(2x+1) + 2(x+0,5) \times \frac{1}{2x+1} – 1 \\ & = \ln(2x+1) + \dfrac{2x + 1}{2x+1} – 1 \\ & = \ln(2x+1) + 1 – 1 \\ & = f(x) \end{array}$$
   la fonction $F$ est donc une primitive de la fonction $f$ sur $[0;+\infty[$.
   
   2. Démontrer que $r = \dfrac{\text{e}}{2} - 1$.
   $r$ est du domaine délimité par les courbes des fonctions $f$ et $x \mapsto 1$ et les droites d’équation $x=0$ et $x= \dfrac{\text{e} – 1}{2}$ qui sont continues sur $\mathbb R^+$ donc sur $\left[ 0; \dfrac{\text{e} – 1}{2}\right]$; de plus sur cet intervalle la droite $D : y=1$ est située au dessus de $C_f$
   Ainsi :
   $$\begin{array}{rl} r &=\displaystyle \int_0^{\frac{\text{e} – 1}{2}} \left(1 – f(x)\right)\mathrm{d}x \\ &=\displaystyle \int_0^{\frac{\text{e} – 1}{2}} \left(1 – \ln(2x+1)\right)\mathrm{d}x \\ & = \left[x – F(x)\right]_0^{\frac{\text{e} – 1}{2}} \\ &= \dfrac{\text{e} – 1}{2} – \left[\left(\dfrac{\text{e} – 1}{2}+0,5\right)\ln \left(2\dfrac{\text{e} – 1}{2}+1\right) – \dfrac{\text{e} – 1}{2}\right] \\ &= \dfrac{\text{e} – 1}{2} – \dfrac{\text{e} }{2} + \dfrac{\text{e} – 1}{2} \\ & = \dfrac{\text{e} }{2} – 1 \end{array}$$
3. Déterminer une primitive $G$ de la fonction $g$ sur l'intervalle $]0~:~+ \infty[$.
On a $g(x) = \ln(2) \left(\dfrac{1}{x} – 1\right)$.
La fonction $g$ est continue sur $]0;+\infty[$.
Une primitive $G$ est définie sur cet intervalle par :
$$G(x) = \ln(2) \left(\ln(x) – x\right)$$

4. On admet que les résultats précédents permettent d'établir que $s = [\ln(2)]^2 + \dfrac{\ln (2) - 1}{2}$. La proposition B remplit-elle les conditions imposées par le fabricant?
On a $r \approx 0,359$ et $s \approx 0,327$. Ainsi $t = 1 -r -s \approx 0,314$.
La proposition B vérifie donc les conditions imposées par le fabriquant.